Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação
, onde
. Ou seja, a gente vai precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar suas bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o núcleo da transformação
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero pela transformação. Matematicamente, isso significa resolver a equação:
Substituindo
pela definição dada:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação
, temos que . - Substituindo
na segunda equação , obtemos .
Então, o único vetor no núcleo é
.
Passo 4
Como o núcleo só contém o vetor zero, isso significa que a dimensão do núcleo é 0. Além disso, como não há outros vetores além de
, não precisamos de mais vetores para a base do núcleo. Portanto, a base do núcleo é o conjunto vazio.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da transformação
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a qualquer vetor de
. Ou seja:
Para encontrar uma base para a imagem, podemos expressar esses vetores em termos das componentes
e
:
Aqui, estamos escrevendo cada vetor da imagem como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 6
Vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Para isso, verificamos se a única solução para
é
e
.
Como a única solução é
e
, os vetores são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.
Resposta
A base do núcleo de
é o conjunto vazio e sua dimensão é 0. A base da imagem de
é
e sua dimensão é 2.
Exercícios relacionados
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(a)
(a)
Seja
tal que
. Ache os vetores
e
tais que
e
.
Encontrar uma transformação linear
cujo núcleo é gerado por
e cuja imagem é gerada por
e
.
Resposta:
Resposta:
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d)
(d)