Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação , onde . Ou seja, a gente vai precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrar suas bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero pela transformação. Matematicamente, isso significa resolver a equação:
Substituindo pela definição dada:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação , temos que .
  2. Substituindo na segunda equação , obtemos .
Então, o único vetor no núcleo é .

Passo 4

Como o núcleo só contém o vetor zero, isso significa que a dimensão do núcleo é 0. Além disso, como não há outros vetores além de , não precisamos de mais vetores para a base do núcleo. Portanto, a base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a qualquer vetor de . Ou seja:
Para encontrar uma base para a imagem, podemos expressar esses vetores em termos das componentes e :
Aqui, estamos escrevendo cada vetor da imagem como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 6

Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Para isso, verificamos se a única solução para é e .
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.

Resposta

A base do núcleo de é o conjunto vazio e sua dimensão é 0. A base da imagem de é e sua dimensão é 2.

Exercícios relacionados

Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(a)
Seja tal que . Ache os vetores e tais que e .
Encontrar uma transformação linear cujo núcleo é gerado por e cuja imagem é gerada por e .
Resposta:
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d)