Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por . Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente lidando com transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que são núcleo, imagem, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para zero pela transformação. Ou seja, queremos resolver a equação:
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar :
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como , onde e são números reais livres para escolhermos.
Passo 4
Agora, vamos expressar esses vetores em termos de combinações lineares:
Assim, uma base para o núcleo de é:
Passo 5
A dimensão do núcleo é simplesmente o número de vetores na base do núcleo. Aqui, temos 2 vetores, então a dimensão é 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como mapeia para e a expressão pode resultar em qualquer número real, a imagem de é todo o .
Uma base para a imagem de é simplesmente:
porque qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por um escalar apropriado.
Passo 7
A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Aqui, temos apenas 1 vetor, então a dimensão é 1.