Encontrar uma transformação linear T: R^3 R^3 cujo núcleo é gerado por (-1,2,1) e cuja imagem é gerada por (-2,1,3) e (-1,0,1).
Resposta: T(x, y, z)=(-2 x-y, z+x, z+3 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que tem duas propriedades específicas:
  1. Núcleo (Ker(T)): Todo vetor que é transformado em zero por está gerado pelo vetor .
  2. Imagem (Im(T)): A imagem de , ou seja, todos os possíveis resultados de , são gerados pelos vetores e .
Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem para resolver isso. Também vamos trabalhar com um pouco de álgebra linear para montar a transformação correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de (x, y, z) = k cdot (-1, 2, 1), para algum k in R , denotado por x = -k, y = 2k, z = k , é o conjunto de todos os vetores em tal que .
Como o núcleo é gerado pelo vetor , isso significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como múltiplos desse vetor. Ou seja, se est�� no núcleo, então:
Isso nos dá relações entre , e :

Passo 3

Agora, vamos pensar na imagem de (a, b, c) = alpha cdot (-2, 1, 3) + beta cdot (-1, 0, 1) , que é gerada por a = -2alpha - beta b = alpha c = 3alpha + beta e . Isso significa que qualquer vetor que produz pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Então, se , temos:
para alguns escalares e .
Isso nos dá o sistema:

Passo 4

Vamos agora relacionar o núcleo e a imagem para encontrar a transformação -2alpha - beta = 0 alpha = 0 3alpha + beta = 0 . Sabemos que se está no núcleo, então .
Usando o sistema que montamos, isso significa:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira e terceira, temos .
Isso confirma que apenas o vetor zero está no núcleo, além dos múltiplos de , conforme dado.

Passo 5

Para construir a matriz da transformação a = -2x - y b = x c = x + 3z + y , vamos associar os coeficientes de T(x, y, z) = (-2x - y, x, x + 3z + y) nas expressões de .
Observamos que:
Então, a transformação linear pode ser escrita como:

Resposta

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