Encontrar uma transformação linear cujo núcleo é gerado por e cuja imagem é gerada por e .
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que tem duas propriedades específicas:
Núcleo (Ker(T)): Todo vetor que é transformado em zero por está gerado pelo vetor .
Imagem (Im(T)): A imagem de , ou seja, todos os possíveis resultados de , são gerados pelos vetores e .
Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo e imagem para resolver isso. Também vamos trabalhar com um pouco de álgebra linear para montar a transformação correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em tal que .
Como o núcleo é gerado pelo vetor , isso significa que todo vetor no núcleo pode ser escrito como múltiplos desse vetor. Ou seja, se est�� no núcleo, então:
Isso nos dá relações entre , e :
Passo 3
Agora, vamos pensar na imagem de , que é gerada por e . Isso significa que qualquer vetor que produz pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Então, se , temos:
para alguns escalares e .
Isso nos dá o sistema:
Passo 4
Vamos agora relacionar o núcleo e a imagem para encontrar a transformação . Sabemos que se está no núcleo, então .
Usando o sistema que montamos, isso significa:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira e terceira, temos .
Isso confirma que apenas o vetor zero está no núcleo, além dos múltiplos de , conforme dado.
Passo 5
Para construir a matriz da transformação , vamos associar os coeficientes de nas expressões de .
Observamos que:
Então, a transformação linear pode ser escrita como: