Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo (conjunto de polinômios que
leva a zero) e para a imagem (todos os possíveis resultados de
), além de determinar as dimensões desses espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de transformações lineares, polinômios e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Ou seja, qualquer
em
pode ser escrito como:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. A derivada primeira de
é:
E a derivada segunda é:
Isso significa que
é uma constante, igual a
.
Passo 4
Aplicando a transformação
em
, temos:
Então,
resulta em um múltiplo de
.
Passo 5
Vamos agora determinar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados de
. Como
, percebemos que:
- Se
varia, varia ao longo de todos os múltiplos de . - Portanto, a imagem de
é o conjunto de todos os polinômios que são múltiplos de .
Uma base para a imagem é simplesmente
, e a dimensão da imagem é 1, já que precisamos de apenas um vetor (ou polinômio) para gerar todo o espaço.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo consiste em todos os polinômios
para os quais
.
Sabemos que:
Para que isso seja zero para todo
, precisamos que
.
Então, os polinômios no núcleo são da forma:
Isso significa que o núcleo é o conjunto de todos os polinômios lineares e constantes.
Uma base para o núcleo pode ser
, e a dimensão do núcleo é 2, já que precisamos de dois vetores (ou polinômios) para gerar todo o espaço do núcleo.
Resposta
- Base do Núcleo:
- Dimensão do Núcleo: 2
- Base da Imagem:
- Dimensão da Imagem: 1