Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo (conjunto de polinômios que leva a zero) e para a imagem (todos os possíveis resultados de ), além de determinar as dimensões desses espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de transformações lineares, polinômios e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Ou seja, qualquer em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A derivada primeira de é:
E a derivada segunda é:
Isso significa que é uma constante, igual a .
Passo 4
Aplicando a transformação em , temos:
Então, resulta em um múltiplo de .
Passo 5
Vamos agora determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados de . Como , percebemos que:
Se varia, varia ao longo de todos os múltiplos de .
Portanto, a imagem de é o conjunto de todos os polinômios que são múltiplos de .
Uma base para a imagem é simplesmente , e a dimensão da imagem é 1, já que precisamos de apenas um vetor (ou polinômio) para gerar todo o espaço.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo consiste em todos os polinômios para os quais .
Sabemos que:
Para que isso seja zero para todo , precisamos que .
Então, os polinômios no núcleo são da forma:
Isso significa que o núcleo é o conjunto de todos os polinômios lineares e constantes.
Uma base para o núcleo pode ser , e a dimensão do núcleo é 2, já que precisamos de dois vetores (ou polinômios) para gerar todo o espaço do núcleo.