Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d) T: P2(R) P2(R), T(f(t))=t^2 f^prime prime(t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo (conjunto de polinômios que leva a zero) e para a imagem (todos os possíveis resultados de ), além de determinar as dimensões desses espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de transformações lineares, polinômios e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que f(t) = at^2 + bt + c é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Ou seja, qualquer em pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f'(t) = 2at + b . A derivada primeira de f''(t) = 2a é:
E a derivada segunda é:
Isso significa que é uma constante, igual a .

Passo 4

Aplicando a transformação T(f(t)) = t^2 f''(t) = t^2 cdot 2a = 2a t^2 em , temos:
Então, resulta em um múltiplo de .

Passo 5

Vamos agora determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados de . Como , percebemos que:
  • Se varia, varia ao longo de todos os múltiplos de .
  • Portanto, a imagem de é o conjunto de todos os polinômios que são múltiplos de .
Uma base para a imagem é simplesmente , e a dimensão da imagem é 1, já que precisamos de apenas um vetor (ou polinômio) para gerar todo o espaço.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o núcleo de T(f(t)) = 2a t^2 = 0 . O núcleo consiste em todos os polinômios f(t) = bt + c para os quais .
Sabemos que:
Para que isso seja zero para todo , precisamos que .
Então, os polinômios no núcleo são da forma:
Isso significa que o núcleo é o conjunto de todos os polinômios lineares e constantes.
Uma base para o núcleo pode ser , e a dimensão do núcleo é 2, já que precisamos de dois vetores (ou polinômios) para gerar todo o espaço do núcleo.

Resposta

  • Base do Núcleo:
  • Dimensão do Núcleo: 2
  • Base da Imagem:
  • Dimensão da Imagem: 1

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