Seja tal que . Ache os vetores e tais que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão nos dá uma transformação linear representada pela matriz . Nosso objetivo é encontrar os vetores e que são próprios da transformação, ou seja, que satisfazem e . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, para achar os vetores e , precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Resolvendo a equação , encontramos os autovalores:
Mas, pela questão, precisamos de vetores que satisfaçam e . Ou seja, estamos interessados nos autovalores e .

Passo 5

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Começando com , substituímos na equação :
Isso nos dá a equação , que simplifica para . Podemos escolher , então .

Passo 6

Agora, vamos para . Substituímos na equação :
Isso resulta em e , o que implica . Assim, pode ser qualquer número. Podemos escolher , então .

Resposta

Os vetores são e .

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Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(a)
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(b)