Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[rr-1 & -2 0 & 1]. Ache os vetores u e v tais que T(u)=u e T(v)=-v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão nos dá uma transformação linear -1 & -2 0 & 1 representada pela matriz . Nosso objetivo é encontrar os vetores e que são próprios da transformação, ou seja, que satisfazem e . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, para achar os vetores e , precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
det( -1 - lambda & -2 0 & 1 - lambda ) = 0
O determinante dessa matriz é:
(-1 - lambda)(1 - lambda) - (-2)(0) = (-1 - lambda)(1 - lambda) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação lambda1 = -1 e lambda2 = 1 , encontramos os autovalores:
Mas, pela questão, precisamos de vetores que satisfaçam e . Ou seja, estamos interessados nos autovalores e .

Passo 5

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Começando com -1 - 1 & -2 0 & 1 - 1 u1 u2 = -2 & -2 0 & 0 u1 u2 = 0 0 , substituímos na equação -1 1 :
Isso nos dá a equação , que simplifica para . Podemos escolher , então .

Passo 6

Agora, vamos para -1 - (-1) & -2 0 & 1 - (-1) v1 v2 = 0 & -2 0 & 2 v1 v2 = 0 0 . Substituímos na equação 1 0 :
Isso resulta em e , o que implica . Assim, pode ser qualquer número. Podemos escolher , então .

Resposta

Os vetores são -1 1 e 1 0 .

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