Seja
tal que
. Ache os vetores
e
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão nos dá uma transformação linear
representada pela matriz
. Nosso objetivo é encontrar os vetores
e
que são próprios da transformação, ou seja, que satisfazem
e
. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, para achar os vetores
e
, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a equação característica:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Resolvendo a equação
, encontramos os autovalores:
Mas, pela questão, precisamos de vetores que satisfaçam
e
. Ou seja, estamos interessados nos autovalores
e
.
Passo 5
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Começando com
, substituímos na equação
:
Isso nos dá a equação
, que simplifica para
. Podemos escolher
, então
.
Passo 6
Agora, vamos para
. Substituímos na equação
:
Isso resulta em
e
, o que implica
. Assim,
pode ser qualquer número. Podemos escolher
, então
.
Resposta
Os vetores são
e
.
Exercícios relacionados
Considere as retas
e
, onde
. Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por
e
são
Considere os pontos
e
e a reta r :
. Encontre os centros dos círculos de raio igual a
que passam pelos pontos A e B , e são tangentes à reta r .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(a)
(a)
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(b)
(b)