Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 com base
beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
Se T: V R^2 é dada por T([lla & b c & d])=(a+d, b+c).
(a) Ache [T]beta^alpha onde alpha é a base canônica do R^2.
Se S: R^2 V e [S]beta^alpha=[rr2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1]
(b) Ache S e, se for possível, (a, b) tal que S(a, b)=[ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial a & b c & d das matrizes com uma base específica . A transformação linear é definida por . Queremos encontrar a matriz da transformação , onde é a base canônica de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a matriz que representa a transformação quando mapeamos de com a base para com a base . Isso significa que precisamos aplicar em cada vetor da base e expressar os resultados em termos da base .

Passo 3

Vamos listar a base beta = 1 & 0 0 & 0, 0 & 1 0 & 0, 0 & 0 1 & 0, 0 & 0 0 & 1 de :
Agora, vamos aplicar em cada uma dessas matrizes.

Passo 4

Aplicando T(1 & 0 0 & 0) = (1+0, 0+0) = (1, 0) na primeira matriz:
Em relação à base canônica , isso é simplesmente o vetor .

Passo 5

Aplicando T(0 & 1 0 & 0) = (0+0, 1+0) = (0, 1) na segunda matriz:
Isso corresponde ao vetor na base .

Passo 6

Aplicando T(0 & 0 1 & 0) = (0+0, 0+1) = (0, 1) na terceira matriz:
Mais uma vez, isso é na base .

Passo 7

Aplicando T(0 & 0 0 & 1) = (0+1, 0+0) = (1, 0) na quarta matriz:
Isso corresponde a na base .

Passo 8

Agora, colocando todos esses resultados como colunas na matriz [T]beta^alpha = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 :

Resposta

A matriz da transformação [T]beta^alpha = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 na base para a base canônica é:

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