Seja o espaço vetorial das matrizes com base
Se é dada por .
(a) Ache onde é a base canônica do .
Se e
(b) Ache e, se for possível, tal que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial das matrizes com uma base específica . A transformação linear é definida por . Queremos encontrar a matriz da transformação , onde é a base canônica de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a matriz que representa a transformação quando mapeamos de com a base para com a base . Isso significa que precisamos aplicar em cada vetor da base e expressar os resultados em termos da base .

Passo 3

Vamos listar a base de :
Agora, vamos aplicar em cada uma dessas matrizes.

Passo 4

Aplicando na primeira matriz:
Em relação à base canônica , isso é simplesmente o vetor .

Passo 5

Aplicando na segunda matriz:
Isso corresponde ao vetor na base .

Passo 6

Aplicando na terceira matriz:
Mais uma vez, isso é na base .

Passo 7

Aplicando na quarta matriz:
Isso corresponde a na base .

Passo 8

Agora, colocando todos esses resultados como colunas na matriz :

Resposta

A matriz da transformação na base para a base canônica é:

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Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d)
Encontrar uma transformação linear cujo núcleo é gerado por e cuja imagem é gerada por e .
Resposta:
etermine o núcleo da transformação linear :
Determine se a função T é uma transformação linear: