Se é dada por .
(a) Ache onde é a base canônica do .
Se e
(b) Ache e, se for possível, tal que .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial das matrizes com uma base específica . A transformação linear é definida por . Queremos encontrar a matriz da transformação , onde é a base canônica de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é a matriz que representa a transformação quando mapeamos de com a base para com a base . Isso significa que precisamos aplicar em cada vetor da base e expressar os resultados em termos da base .
Passo 3
Vamos listar a base de :
Agora, vamos aplicar em cada uma dessas matrizes.
Passo 4
Aplicando na primeira matriz:
Em relação à base canônica , isso é simplesmente o vetor .
Passo 5
Aplicando na segunda matriz:
Isso corresponde ao vetor na base .
Passo 6
Aplicando na terceira matriz:
Mais uma vez, isso é na base .
Passo 7
Aplicando na quarta matriz:
Isso corresponde a na base .
Passo 8
Agora, colocando todos esses resultados como colunas na matriz :
Resposta
A matriz da transformação na base para a base canônica é: