etermine o núcleo da transformação linear :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação linear , onde é uma matriz dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo (ou null space) e como resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicamos neles, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso significa resolver a equação , onde é a matriz da transformação.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações com a matriz dada:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Da terceira equação, resolvemos para :
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 5

Com e em termos de , podemos substituir esses valores na primeira equação para verificar:
Isso confirma que as soluções estão corretas e que é um parâmetro livre.

Passo 6

Assim, todas as soluções do sistema podem ser escritas em termos de :
Podemos escrever o vetor como:

Resposta

O núcleo da transformação linear é o conjunto de todos os vetores da forma:
ú
Ou seja, é o conjunto das combinações lineares do vetor .

Exercícios relacionados

Seja o espaço vetorial das matrizes com base
Se é dada por .
(a) Ache onde é a base canônica do .
Se e
(b) Ache e, se for possível, tal que .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
(d)
Determine se a função T é uma transformação linear:
јja uma transformação linear tal que:
acontre a imagem