etermine o núcleo da transformação linear T(v)=A v :
A=[rrr 2 & 1 & 3 1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação linear , onde é uma matriz dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo (ou null space) e como resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicamos neles, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso significa resolver a equação , onde é a matriz da transformação.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações com a matriz A = 2 & 1 & 3 1 & 1 & 0 0 & 1 & -3 dada:
2x + y + 3z = 0 x + y = 0 y - 3z = 0
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação, podemos expressar x = -y em termos de y = 3z :
x = -3z
Da terceira equação, resolvemos para :
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 5

Com 2(-3z) + 3z + 3z = 0 -6z + 3z + 3z = 0 0 = 0 e em termos de , podemos substituir esses valores na primeira equação para verificar:
Isso confirma que as soluções estão corretas e que é um parâmetro livre.

Passo 6

Assim, todas as soluções do sistema podem ser escritas em termos de x = -3z y = 3z z = z :
v = z -3 3 1
Podemos escrever o vetor como:

Resposta

O núcleo da transformação linear Núc<=o(T) = z -3 3 1 mid z in R é o conjunto de todos os vetores da forma:
-3 3 1 ú
Ou seja, é o conjunto das combinações lineares do vetor .

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