Considere as retas r1: a1 x+b1 y=c1 e r2: a2 x+b2 y=c2, onde a1^2+b1^2=a2^2+b2^2=1. Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por r1 e r2 são
(a1-a2) x+(b1-b2) y=c1-c2 e (a1+a2) x+(b1+b2) y=c1+c2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as bissetrizes dos ângulos formados pelas retas (a1 - a2)x + (b1 - b2)y = c1 - c2 e (a1 + a2)x + (b1 + b2)y = c1 + c2 e , onde , são as retas:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre bissetrizes de ângulos entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a bissetriz de um ângulo entre duas retas é uma reta que divide esse ângulo em duas partes iguais. Para encontrar as bissetrizes, precisamos achar as equações das retas que satisfazem essa condição.

Passo 3

A fórmula geral para as bissetrizes entre duas retas a1x + b1y - c1raiza1^2 + b1^2 = pm a2x + b2y - c2raiza2^2 + b2^2 e é dada por:
No nosso caso, como , as raízes ficam iguais a 1, simplificando a equação.

Passo 4

Substituindo na fórmula geral:
a1x + b1y - c1 = pm (a2x + b2y - c2)
Isso nos dá duas equações diferentes para as bissetrizes.

Passo 5

Resolvendo para o sinal positivo:
a1x + b1y - c1 = a2x + b2y - c2 (a1 - a2)x + (b1 - b2)y = c1 - c2
Essa é uma das bissetrizes.

Passo 6

Agora, resolvendo para o sinal negativo:
a1x + b1y - c1 = - (a2x + b2y - c2) a1x + b1y - c1 = -a2x - b2y + c2 (a1 + a2)x + (b1 + b2)y = c1 + c2
Essa é a outra bissetriz.

Resposta

As duas bissetrizes dos ângulos formados por (a1 - a2)x + (b1 - b2)y = c1 - c2 e (a1 + a2)x + (b1 + b2)y = c1 + c2 e são:

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