Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar:
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a) .
b) .
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente vai precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear. Vamos ver isso para cada uma das transformações que você mandou: a), b) e c).

Passo 2

Transformação a)
Vamos começar encontrando o núcleo dessa transformação. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são levados para o vetor zero em .
Para encontrar o núcleo, resolvemos a equação :
Da segunda equação, sabemos que . Substituindo isso na primeira equação:
E da terceira equação, também confirma que .
Então, o único vetor no núcleo é . Isso significa que a base do núcleo é o conjunto vazio (já que só tem o vetor zero) e a dimensão é 0.
Agora, vamos para a imagem. A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como . Vamos encontrar uma base para a imagem.
Expressando :
Então, os vetores e formam uma base para a imagem. Como esses vetores são lineares independentes, a dimensão da imagem é 2.

Resposta

Para a transformação a):
  • Núcleo: , base vazia e dimensão 0.
  • Imagem: Base e dimensão 2.

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear definida por
Determinar:
a) ;
b) tal que ;
c) tal que .
Seja a transformação linear
e as bases e . Determinar:
a) a matriz de nas bases e ;
b) a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de ;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Dado o operador linear que produz uma rotação do plano de um ângulo , calcular e nos casos de:
a)
b)
c) .
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .