Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T^-1.
a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(3 x-4 y,-x+2 y).
b) T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-2 y,-2 x+3).
c) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y,-4 x+2 y).
d) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-y+2 z, y-z, 2 y-3 z).
e) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, x-z, x-y-z).

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte a do exercício. A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é verificar se esse operador é um isomorfismo. Pra isso, precisamos entender o que é um isomorfismo: basicamente, é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é invertível. Então, vamos precisar checar se a matriz associada a esse operador é inversível, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa o operador A = 3 & -4 -1 & 2 . A matriz de é formada pelos coeficientes das variáveis nas expressões de . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se ela é inversível. O determinante de uma matriz a & b c & d det(A) = (3)(2) - (-4)(-1) = 6 - 4 = 2 é dado por .

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Isso significa que o operador é um isomorfismo. Agora, vamos encontrar a fórmula para , a inversa de .

Passo 5

A fórmula para a inversa de uma matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é dada por:
A^-1 = 12 2 & 4 1 & 3 = 1 & 2 0.5 & 1.5
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b. Aqui temos o operador linear definido por . Precisamos verificar se esse operador é isomorfismo e, se for, determinar . Primeiro, vamos notar que há um termo constante “-2x + 3”, o que indica que talvez não seja um operador linear. Vamos revisar.

Passo 7

Para ser um operador linear, a função precisa satisfazer duas propriedades: e . Mas o termo constante “+3” não permite que seja linear, porque não seria o zero vetor. Assim, não é um operador linear válido no contexto.

Passo 8

Vamos para a parte c. O operador é definido por . Nosso objetivo é verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .

Passo 9

Primeiro, identificamos a matriz associada a A = 2 & -1 -4 & 2 :

Passo 10

Calculamos o determinante:
det(A) = (2)(2) - (-1)(-4) = 4 - 4 = 0

Passo 11

Como o determinante é zero, a matriz não é inversível. Portanto, não é um isomorfismo.

Passo 12

Agora, vamos para a parte d. O operador é definido por . Precisamos verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .

Passo 13

Primeiro, montamos a matriz de A = 1 & -1 & 2 0 & 1 & -1 0 & 2 & -3 :

Passo 14

Calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 & -1 2 & -3 - (-1) cdot 0 & -1 0 & -3 + 2 cdot 0 & 1 0 & 2 :
= 1 cdot (1 cdot (-3) - (-1) cdot 2) - (-1) cdot (0 cdot (-3) - (-1) cdot 0) + 2 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 0)
= 1 cdot (-3 + 2) - (-1) cdot 0 + 2 cdot 0 = -1

Passo 15

Como o determinante é diferente de zero, é inversível. Portanto, é um isomorfismo. Vamos encontrar .

Passo 16

Calculamos a inversa da matriz Cof(A) = 1 & -1 2 & -3 & - 0 & -1 2 & -3 & 0 & 1 2 & -3 - -1 & 2 2 & -3 & 1 & 2 0 & -3 & - 1 & -1 0 & 2 -1 & 2 1 & -1 & - 1 & 2 0 & -1 & 1 & -1 0 & 1 . Uma maneira é usar a matriz adjunta e dividir pelo determinante.
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
= (-3 - (-2)) & - (0 - (-2)) & (0 - 2) -((-1)(-3) - 2 cdot 2) & (1 cdot (-3) - 2 cdot 0) & - (1 cdot 2 - (-1) cdot 0) ((-1)(-1) - 2 cdot 1) & - (1 cdot (-1) - 2 cdot 0) & (1 cdot 1 - (-1) cdot 0)
= -1 & 2 & -2 - (3 - 4) & -3 & -2 (1 - 2) & 1 & 1
= -1 & 2 & -2 1 & -3 & -2 -1 & 1 & 1
Adj(A) = -1 & 1 & -1 2 & -3 & 1 -2 & -2 & 1
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
A^-1 = 1-1 -1 & 1 & -1 2 & -3 & 1 -2 & -2 & 1 = 1 & -1 & 1 -2 & 3 & -1 2 & 2 & -1
Então, a inversa é:

Passo 17

Por último, vamos para a parte e. O operador é definido por . Nosso objetivo é verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .

Passo 18

Primeiro, montamos a matriz de A = 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 1 & -1 & -1 :

Passo 19

Calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 0 & -1 -1 & -1 - 0 cdot 1 & -1 1 & -1 + 0 cdot 1 & 0 1 & -1 :
= 1 cdot (0 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)) = 1 cdot (0 - 1) = -1

Passo 20

Como é diferente de zero, a matriz é inversível. Portanto, é um isomorfismo. Vamos encontrar .

Passo 21

Calculamos a inversa de Cof(A) = 0 & -1 -1 & -1 & - 1 & -1 1 & -1 & 1 & 0 1 & -1 - 0 & 0 -1 & -1 & 1 & 0 1 & -1 & - 1 & 0 1 & -1 0 & -1 0 & 0 & - 1 & -1 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 . Podemos usar a matriz adjunta novamente.
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
= (0 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)) & - (1 cdot (-1) - (-1) cdot 1) & (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) - (0 cdot (-1) - 0 cdot (-1)) & (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) & - (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) (0 cdot 0 - (-1) cdot 0) & - (1 cdot 0 - (-1) cdot 1) & (1 cdot 0 - 0 cdot 1)
= -1 & - ( -1 + 1) & -1 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 = -1 & 0 & -1 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0
Adj(A) = -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 1 & 0
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
A^-1 = 1-1 -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0
Então, a inversa é:

Resposta

Concluindo todas as partes:
a) é um isomorfismo e sua inversa é .
b) não é um isomorfismo.
c) não é um isomorfismo.
d) é um isomorfismo e sua inversa é .
e) é um isomorfismo e sua inversa é .

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