Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Beleza, vamos começar com a parte a do exercício. A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é verificar se esse operador é um isomorfismo. Pra isso, precisamos entender o que é um isomorfismo: basicamente, é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é invertível. Então, vamos precisar checar se a matriz associada a esse operador é inversível, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa o operador . A matriz de é formada pelos coeficientes das variáveis nas expressões de . Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se ela é inversível. O determinante de uma matriz é dado por .
Passo 4
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Isso significa que o operador é um isomorfismo. Agora, vamos encontrar a fórmula para , a inversa de .
Passo 5
A fórmula para a inversa de uma matriz é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b. Aqui temos o operador linear definido por . Precisamos verificar se esse operador é isomorfismo e, se for, determinar . Primeiro, vamos notar que há um termo constante “-2x + 3”, o que indica que talvez não seja um operador linear. Vamos revisar.
Passo 7
Para ser um operador linear, a função precisa satisfazer duas propriedades: e . Mas o termo constante “+3” não permite que seja linear, porque não seria o zero vetor. Assim, não é um operador linear válido no contexto.
Passo 8
Vamos para a parte c. O operador é definido por . Nosso objetivo é verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .
Passo 9
Primeiro, identificamos a matriz associada a :
Passo 10
Calculamos o determinante:
Passo 11
Como o determinante é zero, a matriz não é inversível. Portanto, não é um isomorfismo.
Passo 12
Agora, vamos para a parte d. O operador é definido por . Precisamos verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .
Passo 13
Primeiro, montamos a matriz de :
Passo 14
Calculamos o determinante da matriz :
Passo 15
Como o determinante é diferente de zero, é inversível. Portanto, é um isomorfismo. Vamos encontrar .
Passo 16
Calculamos a inversa da matriz . Uma maneira é usar a matriz adjunta e dividir pelo determinante.
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Então, a inversa é:
Passo 17
Por último, vamos para a parte e. O operador é definido por . Nosso objetivo é verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .
Passo 18
Primeiro, montamos a matriz de :
Passo 19
Calculamos o determinante da matriz :
Passo 20
Como é diferente de zero, a matriz é inversível. Portanto, é um isomorfismo. Vamos encontrar .
Passo 21
Calculamos a inversa de . Podemos usar a matriz adjunta novamente.
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores: