Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte a do exercício. A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é verificar se esse operador é um isomorfismo. Pra isso, precisamos entender o que é um isomorfismo: basicamente, é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é invertível. Então, vamos precisar checar se a matriz associada a esse operador é inversível, ou seja, se o determinante dela é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa o operador . A matriz de é formada pelos coeficientes das variáveis nas expressões de . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para ver se ela é inversível. O determinante de uma matriz é dado por .

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Isso significa que o operador é um isomorfismo. Agora, vamos encontrar a fórmula para , a inversa de .

Passo 5

A fórmula para a inversa de uma matriz é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b. Aqui temos o operador linear definido por . Precisamos verificar se esse operador é isomorfismo e, se for, determinar . Primeiro, vamos notar que há um termo constante “-2x + 3”, o que indica que talvez não seja um operador linear. Vamos revisar.

Passo 7

Para ser um operador linear, a função precisa satisfazer duas propriedades: e . Mas o termo constante “+3” não permite que seja linear, porque não seria o zero vetor. Assim, não é um operador linear válido no contexto.

Passo 8

Vamos para a parte c. O operador é definido por . Nosso objetivo é verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .

Passo 9

Primeiro, identificamos a matriz associada a :

Passo 10

Calculamos o determinante:

Passo 11

Como o determinante é zero, a matriz não é inversível. Portanto, não é um isomorfismo.

Passo 12

Agora, vamos para a parte d. O operador é definido por . Precisamos verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .

Passo 13

Primeiro, montamos a matriz de :

Passo 14

Calculamos o determinante da matriz :

Passo 15

Como o determinante é diferente de zero, é inversível. Portanto, é um isomorfismo. Vamos encontrar .

Passo 16

Calculamos a inversa da matriz . Uma maneira é usar a matriz adjunta e dividir pelo determinante.
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Então, a inversa é:

Passo 17

Por último, vamos para a parte e. O operador é definido por . Nosso objetivo é verificar se é isomorfismo e, se for, encontrar .

Passo 18

Primeiro, montamos a matriz de :

Passo 19

Calculamos o determinante da matriz :

Passo 20

Como é diferente de zero, a matriz é inversível. Portanto, é um isomorfismo. Vamos encontrar .

Passo 21

Calculamos a inversa de . Podemos usar a matriz adjunta novamente.
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Então, a inversa é:

Resposta

Concluindo todas as partes:
a) é um isomorfismo e sua inversa é .
b) não é um isomorfismo.
c) não é um isomorfismo.
d) é um isomorfismo e sua inversa é .
e) é um isomorfismo e sua inversa é .

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a)
b)
c) .
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a) .
b) .
c) .
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Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
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a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .