Dado o operador linear que produz uma rotação do plano de um ângulo , calcular e nos casos de:
a)
b)
c) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear que faz uma rotação no plano de um ângulo . Precisamos calcular essa rotação para o vetor e para um vetor genérico nos casos em que é:
a) ,
b) ,
c) .
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a matriz de rotação a um vetor. A matriz de rotação em duas dimensões é dada por:

Passo 2

Vamos começar aplicando a rotação no vetor para cada valor de .

Passo 3

Caso a)
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituímos esses valores na matriz de rotação:
Aplicando ao vetor :
Também queremos expressar :

Passo 4

Caso b)
Calculamos e :
A matriz de rotação fica:
Aplicando ao vetor :
Para :

Passo 5

Caso c)
Calculamos e :
A matriz de rotação fica:
Aplicando ao vetor :
Para :

Resposta

a) e
b) e
c) e

Exercícios relacionados

Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar:
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a) .
b) .
c) .
Seja a transformação linear definida por
Determinar:
a) ;
b) tal que ;
c) tal que .
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .