Dado o operador linear
que produz uma rotação do plano de um ângulo
, calcular
e
nos casos de:
a)
b)
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
que faz uma rotação no plano
de um ângulo
. Precisamos calcular essa rotação para o vetor
e para um vetor genérico
nos casos em que
é:
a) ,
b) ,
c) .
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a matriz de rotação a um vetor. A matriz de rotação em duas dimensões é dada por:
Passo 2
Vamos começar aplicando a rotação no vetor
para cada valor de
.
Passo 3
Caso a)
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, substituímos esses valores na matriz de rotação:
Aplicando ao vetor
:
Também queremos expressar
:
Passo 4
Caso b)
Calculamos
e
:
A matriz de rotação fica:
Aplicando ao vetor
:
Para
:
Passo 5
Caso c)
Calculamos
e
:
A matriz de rotação fica:
Aplicando ao vetor
:
Para
:
Resposta
a)
e
b)
e
c)
e
Exercícios relacionados
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar:
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a) .
b) .
c) .
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a)
b)
c)
Seja
a transformação linear definida por
Determinar:
a) ;
b) tal que
;
c) tal que
.
a)
b)
c)
Dados os operadores lineares abaixo, verificar quais são isomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para
.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Sejam os operadores lineares
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)