Dado o operador linear Rtheta: R^2 R^2 que produz uma rotação do plano de um ângulo theta, calcular Rtheta(-2,4) e Rtheta(x, y) nos casos de:
a) theta=pi
b) theta=pi4
c) theta=pi3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear Rtheta que faz uma rotação no plano R^2 de um ângulo theta. Precisamos calcular essa rotação para o vetor (-2, 4) e para um vetor genérico (x, y) nos casos em que theta é:
a) theta = pi,
b) theta = pi4,
c) theta = pi3.
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a matriz de rotação a um vetor. A matriz de rotação em duas dimensões é dada por:
Rtheta = costheta & -sintheta sintheta & costheta

Passo 2

Vamos começar aplicando a rotação no vetor (-2, 4) para cada valor de theta.

Passo 3

Caso a) theta = pi
Primeiro, calculamos cospi e sinpi:
cospi = -1 sinpi = 0
Agora, substituímos esses valores na matriz de rotação:
Rpi = -1 & -0 0 & -1 = -1 & 0 0 & -1
Aplicando ao vetor (-2, 4):
Rpi(-2, 4) = -1 & 0 0 & -1 -2 4 = (-1)(-2) + (0)(4) (0)(-2) + (-1)(4) = 2 -4
Também queremos expressar Rpi(x, y):
Rpi(x, y) = (-x, -y)

Passo 4

Caso b) theta = pi4
Calculamos cospi4 e sinpi4:
cospi4 = raiz22 sinpi4 = raiz22
A matriz de rotação fica:
Rpi4 = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22
Aplicando ao vetor (-2, 4):
Rpi4(-2, 4) = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 -2 4 = raiz22(-2) + (-raiz22)(4) raiz22(-2) + raiz22(4) = - raiz2 - 2raiz2 - raiz2 + 2raiz2 = -3raiz2 raiz2
Para Rpi4(x, y):
Rpi4(x, y) = ( raiz22x - raiz22y, raiz22x + raiz22y )

Passo 5

Caso c) theta = pi3
Calculamos cospi3 e sinpi3:
cospi3 = 12 sinpi3 = raiz32
A matriz de rotação fica:
Rpi3 = 12 & -raiz32 raiz32 & 12
Aplicando ao vetor (-2, 4):
Rpi3(-2, 4) = 12 & -raiz32 raiz32 & 12 -2 4 = 12(-2) + (-raiz32)(4) raiz32(-2) + 12(4) = -1 - 2raiz3 - raiz3 + 2
Para Rpi3(x, y):
Rpi3(x, y) = ( 12x - raiz32y, raiz32x + 12y )

Resposta

a) Rpi(-2, 4) = (2, -4) e Rpi(x, y) = (-x, -y)
b) Rpi4(-2, 4) = (-3raiz2, raiz2) e Rpi4(x, y) = ( raiz22x - raiz22y, raiz22x + raiz22y )
c) Rpi3(-2, 4) = (-1 - 2raiz3, - raiz3 + 2) e Rpi3(x, y) = ( 12x - raiz32y, raiz32x + 12y )

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