Dado o operador linear
que produz uma rotação do plano de um ângulo
, calcular
e
nos casos de:
a)
b)
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
que faz uma rotação no plano
de um ângulo
. Precisamos calcular essa rotação para o vetor
e para um vetor genérico
nos casos em que
é:
a) ,
b) ,
c) .
a)
b)
c)
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a matriz de rotação a um vetor. A matriz de rotação em duas dimensões é dada por:
Passo 2
Vamos começar aplicando a rotação no vetor
para cada valor de
.
Passo 3
Caso a)
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, substituímos esses valores na matriz de rotação:
Aplicando ao vetor
:
Também queremos expressar
:
Passo 4
Caso b)
Calculamos
e
:
A matriz de rotação fica:
Aplicando ao vetor
:
Para
:
Passo 5
Caso c)
Calculamos
e
:
A matriz de rotação fica:
Aplicando ao vetor
:
Para
:
Resposta
a)
e
b)
e
c)
e