Seja a transformação linear definida por
Determinar:
a) ;
b) tal que ;
c) tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma transformação linear definida por três pares de vetores. Nosso objetivo nesta parte (a) é encontrar a expressão geral de . Para isso, precisamos usar os conceitos de transformação linear e combinar os vetores dados para construir a transformação desejada.

Passo 2

Sabemos que uma transformação linear pode ser representada como uma combinação linear das suas entradas. Ou seja, podemos escrever . No entanto, nossos vetores não estão na forma padrão, então precisamos achar uma maneira de expressar e usando as informações dadas.

Passo 3

Vamos usar as transformações fornecidas:
Podemos escrever essas equações usando a linearidade de :

Passo 4

Já sabemos que . Usando a segunda equação:

Substituindo :

Resolvendo para :

Passo 5

Agora, usamos a primeira equação:

Substituindo os valores conhecidos:

Somando os vetores:

Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos montar a expressão geral de :
Substituindo os valores:

Resposta

A transformação linear é dada por:

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear
e as bases e . Determinar:
a) a matriz de nas bases e ;
b) a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de ;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Seja um espaço Euclidiano e a métrica usual de . Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre .
  1. , para todo .
  2. , para todo .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar:
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a) .
b) .
c) .
Dado o operador linear que produz uma rotação do plano de um ângulo , calcular e nos casos de:
a)
b)
c) .