Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T(1,1,1)=(1,2), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,0,0)=(3,4)
Determinar:
a) T(x, y, z);
b) v1 in R^3 tal que T(v1)=(-3,-2);
c) v2 in R^3 tal que T(v2)=(0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma transformação linear definida por três pares de vetores. Nosso objetivo nesta parte (a) é encontrar a expressão geral de . Para isso, precisamos usar os conceitos de transformação linear e combinar os vetores dados para construir a transformação desejada.

Passo 2

Sabemos que uma transformação linear pode ser representada como uma combinação linear das suas entradas. Ou seja, podemos escrever . No entanto, nossos vetores não estão na forma padrão, então precisamos achar uma maneira de expressar e usando as informações dadas.

Passo 3

Vamos usar as transformações fornecidas:
Podemos escrever essas equações usando a linearidade de :

Passo 4

Já sabemos que . Usando a segunda equação:

Substituindo :

Resolvendo para :

Passo 5

Agora, usamos a primeira equação:

Substituindo os valores conhecidos:

Somando os vetores:

Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1) , T(x, y, z) = x cdot (3,4) + y cdot (-1,-1) + z cdot (-1,-1) e , podemos montar a expressão geral de :
Substituindo os valores:

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = (3x - y - z, ; 4x - y - z) é dada por:

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