Seja
a transformação linear definida por
Determinar:
a)
;
b)
tal que
;
c)
tal que
.
a)
b)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma transformação linear
definida por três pares de vetores. Nosso objetivo nesta parte (a) é encontrar a expressão geral de
. Para isso, precisamos usar os conceitos de transformação linear e combinar os vetores dados para construir a transformação desejada.
Passo 2
Sabemos que uma transformação linear pode ser representada como uma combinação linear das suas entradas. Ou seja, podemos escrever
. No entanto, nossos vetores não estão na forma padrão, então precisamos achar uma maneira de expressar
e
usando as informações dadas.
Passo 3
Vamos usar as transformações fornecidas:
Podemos escrever essas equações usando a linearidade de
:
Passo 4
Já sabemos que
. Usando a segunda equação:
Substituindo :
Resolvendo para :
Substituindo
Resolvendo para
Passo 5
Agora, usamos a primeira equação:
Substituindo os valores conhecidos:
Somando os vetores:
Resolvendo para :
Substituindo os valores conhecidos:
Somando os vetores:
Resolvendo para
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos montar a expressão geral de
:
Substituindo os valores:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
Exercícios relacionados
Seja a transformação linear
e as bases
e
. Determinar:
a) a matriz de nas bases
e
;
b) a matriz de nas bases
e
, sendo
a base canônica de
;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
a) a matriz de
b) a matriz de
c) a matriz canônica de
d)
Seja
um espaço Euclidiano e
a métrica usual de
. Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre
.
-
, para todo . -
, para todo .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar:
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a) .
b) .
c) .
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a)
b)
c)
Dado o operador linear
que produz uma rotação do plano de um ângulo
, calcular
e
nos casos de:
a)
b)
c) .
a)
b)
c)