Seja a transformação linear
e as bases e . Determinar:
a) a matriz de nas bases e ;
b) a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de ;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . As bases dadas são para e para . Vamos precisar entender como construir a matriz dessa transformação em diferentes bases e usar essas matrizes para calcular .

Passo 2

Parte a) Encontrar a matriz de nas bases e .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear entre duas bases, a gente precisa ver como os vetores da base de partida são transformados e depois expressar essas imagens na base de chegada.
Passo a Passo:
  1. Transformar cada vetor da base usando :
  2. Expressir essas imagens na base :
    Queremos encontrar combinações lineares dos vetores de que resultem nas imagens de . Ou seja, para cada , encontrar scalars tais que:
    Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
    • Para :
      Resolvendo:
      De onde .
      Substituindo em .
      E .
      Então, .
    • Para :
      Resolvendo:
      .
      Substituindo em .
      E .
      Então, .
  3. Construir a matriz de nas bases e :
    Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes encontrados para cada vetor da base .
    Assim, a matriz será:

Passo 3

Parte b) Encontrar a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de .
A base canônica de é simplesmente , onde:
Para encontrar a matriz de nas bases e , seguimos um processo semelhante, mas agora expressando as imagens diretamente na base canônica.
Passo a Passo:
  1. Já temos as imagens de para os vetores de :
  2. Expressar essas imagens na base canônica :
    Na base canônica, as coordenadas já são os próprios componentes dos vetores. Portanto, cada imagem é simplesmente uma coluna da matriz.
  3. Construir a matriz de nas bases e :

Passo 4

Parte c) Encontrar a matriz canônica de .
A matriz canônica de uma transformação linear é a matriz que representa nas bases canônicas de e .
Passo a Passo:
  1. Escolher as bases canônicas para e :
    • Base canônica de : , onde e .
    • Base canônica de : , onde , , .
  2. Aplicar nos vetores da base canônica de :
  3. Construir a matriz canônica de :
    Cada coluna da matriz será as imagens de aplicadas aos vetores da base canônica de .

Passo 5

Parte d) Calcular usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Vamos usar a matriz canônica de que encontramos na parte c) para calcular .
Passo a Passo:
  1. Representar o vetor na base canônica de :
  2. Multiplicar a matriz canônica de pelo vetor :

Resposta

a) A matriz de nas bases e é:
b) A matriz de nas bases e é:
c) A matriz canônica de é:
d)

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Seja um espaço Euclidiano e a métrica usual de . Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre .
  1. , para todo .
  2. , para todo .
Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
  1. e são .
Seja a transformação linear definida por
Determinar:
a) ;
b) tal que ;
c) tal que .
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar:
(i) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
(ii) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
a) .
b) .
c) .