e as bases e . Determinar:
a) a matriz de nas bases e ;
b) a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de ;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . As bases dadas são para e para . Vamos precisar entender como construir a matriz dessa transformação em diferentes bases e usar essas matrizes para calcular .
Passo 2
Parte a) Encontrar a matriz de nas bases e .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear entre duas bases, a gente precisa ver como os vetores da base de partida são transformados e depois expressar essas imagens na base de chegada.
Passo a Passo:
Transformar cada vetor da base usando :
Expressir essas imagens na base :
Queremos encontrar combinações lineares dos vetores de que resultem nas imagens de . Ou seja, para cada , encontrar scalars tais que:
Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Para :
Resolvendo:
De onde .
Substituindo em .
E .
Então, .
Para :
Resolvendo:
.
Substituindo em .
E .
Então, .
Construir a matriz de nas bases e :
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes encontrados para cada vetor da base .
Assim, a matriz será:
Passo 3
Parte b) Encontrar a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de .
A base canônica de é simplesmente , onde:
Para encontrar a matriz de nas bases e , seguimos um processo semelhante, mas agora expressando as imagens diretamente na base canônica.
Passo a Passo:
Já temos as imagens de para os vetores de :
Expressar essas imagens na base canônica :
Na base canônica, as coordenadas já são os próprios componentes dos vetores. Portanto, cada imagem é simplesmente uma coluna da matriz.
Construir a matriz de nas bases e :
Passo 4
Parte c) Encontrar a matriz canônica de .
A matriz canônica de uma transformação linear é a matriz que representa nas bases canônicas de e .
Passo a Passo:
Escolher as bases canônicas para e :
Base canônica de : , onde e .
Base canônica de : , onde , , .
Aplicar nos vetores da base canônica de :
Construir a matriz canônica de :
Cada coluna da matriz será as imagens de aplicadas aos vetores da base canônica de .
Passo 5
Parte d) Calcular usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Vamos usar a matriz canônica de que encontramos na parte c) para calcular .