Seja a transformação linear
T: R^2 R^3, T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y)
e as bases A=(-1,1),(2,1) e B=(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0). Determinar:
a) a matriz de T nas bases A e B;
b) a matriz de T nas bases A e C, sendo C a base canônica de R^3;
c) a matriz canônica de T;
d) T(3,4) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . As bases dadas são para e para . Vamos precisar entender como construir a matriz dessa transformação em diferentes bases e usar essas matrizes para calcular .

Passo 2

Parte a) Encontrar a matriz de T(v) = a(0,0,1) + b(0,1,-1) + c(1,1,0) nas bases 0a + 0b + 1c = -3 0a + 1b + 1c = 2 1a -1b + 0c = -2 e 0a + 0b + 1c = 3 0a + 1b + 1c = 5 1a -1b + 0c = -2 .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear entre duas bases, a gente precisa ver como os vetores da base de partida são transformados e depois expressar essas imagens na base de chegada.
Passo a Passo:
  1. Transformar cada vetor da base [T]A^B = 3 & 0 5 & 2 -3 & 3 usando :
  2. Expressir essas imagens na base :
    Queremos encontrar combinações lineares dos vetores de que resultem nas imagens de . Ou seja, para cada , encontrar scalars tais que:
    Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
    • Para :
      Resolvendo:
      De onde .
      Substituindo em .
      E .
      Então, .
    • Para :
      Resolvendo:
      .
      Substituindo em .
      E .
      Então, .
  3. Construir a matriz de nas bases e :
    Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes encontrados para cada vetor da base .
    Assim, a matriz será:

Passo 3

Parte b) Encontrar a matriz de e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) nas bases [T]A^C = -3 & 3 2 & 5 -2 & -2 e , sendo a base canônica de .
A base canônica de é simplesmente , onde:
Para encontrar a matriz de nas bases e , seguimos um processo semelhante, mas agora expressando as imagens diretamente na base canônica.
Passo a Passo:
  1. Já temos as imagens de para os vetores de :
  2. Expressar essas imagens na base canônica :
    Na base canônica, as coordenadas já são os próprios componentes dos vetores. Portanto, cada imagem é simplesmente uma coluna da matriz.
  3. Construir a matriz de nas bases e :

Passo 4

Parte c) Encontrar a matriz canônica de [T]C^C = 2 & -1 1 & 3 0 & -2 .
A matriz canônica de uma transformação linear é a matriz que representa nas bases canônicas de e .
Passo a Passo:
  1. Escolher as bases canônicas para e :
    • Base canônica de : , onde e .
    • Base canônica de : , onde , , .
  2. Aplicar nos vetores da base canônica de :
  3. Construir a matriz canônica de :
    Cada coluna da matriz será as imagens de aplicadas aos vetores da base canônica de .

Passo 5

Parte d) Calcular 3 4 usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Vamos usar a matriz canônica de [T]C^C cdot 3 4 = 2 & -1 1 & 3 0 & -2 cdot 3 4 = 2*3 + (-1)*4 1*3 + 3*4 0*3 + (-2)*4 = 6 -4 3 +12 0 -8 = 2 15 -8 que encontramos na parte c) para calcular .
Passo a Passo:
  1. Representar o vetor na base canônica de :
  2. Multiplicar a matriz canônica de pelo vetor :

Resposta

a) A matriz de [T]A^B = 3 & 0 5 & 2 -3 & 3 nas bases [T]A^C = -3 & 3 2 & 5 -2 & -2 e [T]C^C = 2 & -1 1 & 3 0 & -2 é:
b) A matriz de nas bases e é:
c) A matriz canônica de é:
d)

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