Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido aqui! Temos duas transformações lineares:
a) definida por
b) definida por
Vamos trabalhar com cada uma delas para entender melhor suas propriedades, como encontrar suas matrizes, verificar se são injetoras ou sobrejetoras, e entender o que isso tudo significa na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a).
a) definida por
Passo 2.1:Encontrar a matriz da transformação linear
Para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como a transformação age sobre os vetores da base canônica. A base canônica de é composta pelos vetores , , e .
Aplicando a cada um desses vetores:
Agora, organizamos esses resultados em colunas para formar a matriz de :
Passo 2.2:Verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora
Uma transformação linear é:
Injetora se o núcleo de contém apenas o vetor zero.
Sobrejetora se sua imagem é todo o espaço de chegada .
Verificando a injetividade:
Vamos encontrar o núcleo de , ou seja, resolver :
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na expressão de :
Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores , onde é um número real. Como existem infinitos vetores no núcleo além do vetor zero, a transformação não é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
Como a matriz tem 2 linhas e rank 2 (já que as linhas são linearmente independentes), a imagem de é todo . Portanto, a transformação é sobrejetora.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b).
b) definida por
Passo 3.1:Encontrar a matriz da transformação linear
A base canônica de é e .
Aplicando a cada um:
Organizando em colunas:
Passo 3.2:Verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora
Verificando a injetividade:
Para ser injetora, o núcleo deve conter apenas o vetor zero. Vamos resolver :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero. A transformação é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
A transformação só pode ser sobrejetora se a imagem tiver dimensão 3. No entanto, a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do domínio, que é 2. Assim, a imagem de é um subespaço de com dimensão no máximo 2. Portanto, a transformação não é sobrejetora.