a) T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 3 x+2 y+z);
b) T: R^2 R^3 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x-y,-x+3 y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido aqui! Temos duas transformações lineares:
a) definida por
b) definida por
Vamos trabalhar com cada uma delas para entender melhor suas propriedades, como encontrar suas matrizes, verificar se são injetoras ou sobrejetoras, e entender o que isso tudo significa na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a).
a) A = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 definida por x + 2y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0
Passo 2.1: Encontrar a matriz da transformação linear
Para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como a transformação age sobre os vetores da base canônica. A base canônica de 3(-2y - 3z) + 2y + z = 0 -6y - 9z + 2y + z = 0 -4y - 8z = 0 y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z é composta pelos vetores x = -2(-2z) - 3z = 4z - 3z = z , , e .
Aplicando a cada um desses vetores:
Agora, organizamos esses resultados em colunas para formar a matriz de :
Passo 2.2: Verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora
Uma transformação linear é:
  • Injetora se o núcleo de contém apenas o vetor zero.
  • Sobrejetora se sua imagem é todo o espaço de chegada .
Verificando a injetividade:
Vamos encontrar o núcleo de , ou seja, resolver :
Resolvendo esse sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Substituindo na expressão de :
Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores , onde é um número real. Como existem infinitos vetores no núcleo além do vetor zero, a transformação não é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
Como a matriz tem 2 linhas e rank 2 (já que as linhas são linearmente independentes), a imagem de é todo . Portanto, a transformação é sobrejetora.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b).
b) A = 1 & 1 2 & -1 -1 & 3 definida por x + y = 0 2x - y = 0 - x + 3y = 0
Passo 3.1: Encontrar a matriz da transformação linear
A base canônica de 2x - (-x) = 0 Rightarrow 3x = 0 Rightarrow x = 0 Rightarrow y = 0 é e .
Aplicando a cada um:
Organizando em colunas:
Passo 3.2: Verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora
Verificando a injetividade:
Para ser injetora, o núcleo deve conter apenas o vetor zero. Vamos resolver :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero. A transformação é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
A transformação só pode ser sobrejetora se a imagem tiver dimensão 3. No entanto, a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do domínio, que é 2. Assim, a imagem de é um subespaço de com dimensão no máximo 2. Portanto, a transformação não é sobrejetora.

Resposta

a)
  • Matriz de 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 :
1 & 1 2 & -1 -1 & 3
  • A transformação não é injetora e é sobrejetora.
b)
  • Matriz de :
  • A transformação é injetora e não é sobrejetora.

Exercícios relacionados