a) tal que ;
b) tal que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido aqui! Temos duas transformações lineares:
a) definida por
b) definida por
Vamos trabalhar com cada uma delas para entender melhor suas propriedades, como encontrar suas matrizes, verificar se são injetoras ou sobrejetoras, e entender o que isso tudo significa na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a).
a) definida por
Passo 2.1: Encontrar a matriz da transformação linear
Para encontrar a matriz de uma transformação linear, precisamos ver como a transformação age sobre os vetores da base canônica. A base canônica de é composta pelos vetores , , e .
Aplicando a cada um desses vetores:
Agora, organizamos esses resultados em colunas para formar a matriz de :
Passo 2.2: Verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora
Uma transformação linear é:
  • Injetora se o núcleo de contém apenas o vetor zero.
  • Sobrejetora se sua imagem é todo o espaço de chegada .
Verificando a injetividade:
Vamos encontrar o núcleo de , ou seja, resolver :
Resolvendo esse sistema:
  • Da primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Substituindo na expressão de :
Portanto, o núcleo é formado por todos os vetores , onde é um número real. Como existem infinitos vetores no núcleo além do vetor zero, a transformação não é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
Como a matriz tem 2 linhas e rank 2 (já que as linhas são linearmente independentes), a imagem de é todo . Portanto, a transformação é sobrejetora.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b).
b) definida por
Passo 3.1: Encontrar a matriz da transformação linear
A base canônica de é e .
Aplicando a cada um:
Organizando em colunas:
Passo 3.2: Verificar se a transformação é injetora ou sobrejetora
Verificando a injetividade:
Para ser injetora, o núcleo deve conter apenas o vetor zero. Vamos resolver :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero. A transformação é injetora.
Verificando a sobrejetividade:
A transformação só pode ser sobrejetora se a imagem tiver dimensão 3. No entanto, a dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do domínio, que é 2. Assim, a imagem de é um subespaço de com dimensão no máximo 2. Portanto, a transformação não é sobrejetora.

Resposta

a)
  • Matriz de :
  • A transformação não é injetora e é sobrejetora.
b)
  • Matriz de :
  • A transformação é injetora e não é sobrejetora.

Exercícios relacionados

Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperativa nos meses de abril, maio e junho foi dada como na tabela abaixo. Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ração foi produzido em cada um destes meses.
Quant./ Mês <br> (em tonelada) Farelo de Soja Gordura Animal Milho
Abril 1 1,5 2
Maio 1,3 2 1,6
Junho 1 1,4 1,8
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. tal que