Seja
o operador linear sobre
definido por
. Qual é a matriz de F em relação à base ordenada
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
definido por
no espaço
. A pergunta é: qual é a matriz de
em relação à base ordenada
? Para resolver isso, vamos precisar saber como representar
usando essa nova base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base específica, precisamos ver como o operador age sobre os vetores da base. No nosso caso, vamos aplicar
em cada vetor de
.
Passo 3
Vamos aplicar
no primeiro vetor da base
, que é
:
Agora, aplicamos
no segundo vetor da base
, que é
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar os vetores
e
como combinações lineares dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar coeficientes
tais que:
Passo 5
Vamos resolver o sistema para
:
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo
na equação (1):
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Somando as equações (3) e (4):
Substituindo
na equação (3):
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de
na base
. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes das combinações lineares que encontramos:
Resposta
A matriz de
em relação à base ordenada
é:
Exercícios relacionados
Para os operadores
definidos por
e
, determine:
(b) e
;
(b)
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
©
©
Responda cuidadosamente cada item:
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
Seja
o operador linear sobre
definido por
. Qual é a matriz de
em relação à base canônica do
?