Seja F o operador linear sobre R^2 definido por F(x, y)=(-y, x). Qual é a matriz de F em relação à base ordenada B=(1,2),(1,-1) ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por no espaço . A pergunta é: qual é a matriz de em relação à base ordenada ? Para resolver isso, vamos precisar saber como representar usando essa nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base específica, precisamos ver como o operador age sobre os vetores da base. No nosso caso, vamos aplicar em cada vetor de .

Passo 3

Vamos aplicar F(1, 2) = (-2, 1) no primeiro vetor da base F(1, -1) = (1, 1) , que é :
Agora, aplicamos no segundo vetor da base , que é :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os vetores (-2, 1) = a(1, 2) + b(1, -1) e (1, 1) = c(1, 2) + d(1, -1) como combinações lineares dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:

Passo 5

Vamos resolver o sistema para -2 = a + b (1) :
1 = 2a - b (2)
-2 + 1 = a + b + 2a - b Rightarrow -1 = 3a Rightarrow a = -13
Somando as equações (1) e (2):
-2 = -13 + b Rightarrow b = -53
Substituindo na equação (1):

Passo 6

Agora, resolvemos para 1 = c + d (3) :
1 = 2c - d (4)
1 + 1 = c + d + 2c - d Rightarrow 2 = 3c Rightarrow c = 23
Somando as equações (3) e (4):
1 = 23 + d Rightarrow d = 13
Substituindo na equação (3):

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de Matriz de F = a & c b & d = -13 & 23 -53 & 13 na base . Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes das combinações lineares que encontramos:

Resposta

A matriz de -13 & 23 -53 & 13 em relação à base ordenada é:

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