Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de F em relação à base ordenada ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por no espaço . A pergunta é: qual é a matriz de em relação à base ordenada ? Para resolver isso, vamos precisar saber como representar usando essa nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base específica, precisamos ver como o operador age sobre os vetores da base. No nosso caso, vamos aplicar em cada vetor de .

Passo 3

Vamos aplicar no primeiro vetor da base , que é :
Agora, aplicamos no segundo vetor da base , que é :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os vetores e como combinações lineares dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:

Passo 5

Vamos resolver o sistema para :
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Somando as equações (3) e (4):
Substituindo na equação (3):

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de na base . Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes das combinações lineares que encontramos:

Resposta

A matriz de em relação à base ordenada é:

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Para os operadores definidos por e , determine:
(b) e ;
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
©
Responda cuidadosamente cada item:
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?