Para os operadores definidos por e , determine:
(b) e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) da composição de dois operadores lineares e definidos no espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar saber como compor funções lineares e entender o que são núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos compor os operadores e , ou seja, calcular . Isso significa que vamos aplicar primeiro e depois no resultado de .
As funções são dadas por:
Agora, vamos substituir em :
Vamos chamar , e . Então:
Substituindo de volta:
Simplificando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Assim, temos o sistema de equações:
Como direto da segunda equação, podemos substituir nas demais:
Isso nos dá . Assim, é um parâmetro livre. Vamos chamar , então e .
Portanto, o núcleo é todo vetor da forma , onde é um número real.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de G circ F (x, y, z) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando x + 3y + 2z y x + y + 2z = x 1 0 1 + y 3 1 1 + z 2 0 2 em algum vetor de 1 0 1, 3 1 1, 2 0 2 .
A função 2 1 0 1 = 2 0 2 foi simplificada para:
Im(G circ F) = Espaço Gerado por 1 0 1, 3 1 1
Podemos representar isso como uma combinação linear das variáveis , e :
Para determinar a imagem, precisamos ver quais vetores são combinações lineares das colunas:
Observamos que a terceira coluna é duas vezes a primeira coluna:
Então, a terceira coluna não adiciona nada de novo à imagem. Assim, a imagem é gerada pelas duas primeiras colunas: