Para os operadores G, F in L(R^3) definidos por G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z) e F(x, y, z)=(x+y, z+y, z), determine:
(b) Ker(G circ F) e Im(G circ F);

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) da composição de dois operadores lineares e definidos no espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar saber como compor funções lineares e entender o que são núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos compor os operadores F(x, y, z) = (x + y, y + z, z) e G(a, b, c) = (a + 2b, b - c, a + 2c) , ou seja, calcular G(F(x, y, z)) = G(x + y, y + z, z) . Isso significa que vamos aplicar G(a, b, c) = (a + 2b, b - c, a + 2c) primeiro e depois G circ F (x, y, z) = ((x + y) + 2(y + z), (y + z) - z, (x + y) + 2z) no resultado de G circ F (x, y, z) = (x + y + 2y + 2z, y + z - z, x + y + 2z) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) .
As funções são dadas por:
Agora, vamos substituir em :
Vamos chamar , e . Então:
Substituindo de volta:
Simplificando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x + 3y + 2z = 0 y = 0 x + y + 2z = 0 , que é o conjunto de todos os vetores x + 2z = 0 x + 2z = 0 em que satisfazem .
Assim, temos o sistema de equações:
Como direto da segunda equação, podemos substituir nas demais:
Isso nos dá . Assim, é um parâmetro livre. Vamos chamar , então e .
Portanto, o núcleo é todo vetor da forma , onde é um número real.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de G circ F (x, y, z) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando x + 3y + 2z y x + y + 2z = x 1 0 1 + y 3 1 1 + z 2 0 2 em algum vetor de 1 0 1, 3 1 1, 2 0 2 .
A função 2 1 0 1 = 2 0 2 foi simplificada para:
Im(G circ F) = Espaço Gerado por 1 0 1, 3 1 1
Podemos representar isso como uma combinação linear das variáveis , e :
Para determinar a imagem, precisamos ver quais vetores são combinações lineares das colunas:
Observamos que a terceira coluna é duas vezes a primeira coluna:
Então, a terceira coluna não adiciona nada de novo à imagem. Assim, a imagem é gerada pelas duas primeiras colunas:
ç

Resposta

Ker(G circ F) = , (-2t, 0, t) ;|; t in R ,
Im(G circ F) = Espaço Gerado por , 1 0 1, 3 1 1 , ç

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