Para os operadores definidos por e , determine:
(b) e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar o núcleo (Ker) e a imagem (Im) da composição de dois operadores lineares e definidos no espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar saber como compor funções lineares e entender o que são núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos compor os operadores e , ou seja, calcular . Isso significa que vamos aplicar primeiro e depois no resultado de .
As funções são dadas por:
Agora, vamos substituir em :
Vamos chamar , e . Então:
Substituindo de volta:
Simplificando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Assim, temos o sistema de equações:
Como direto da segunda equação, podemos substituir nas demais:
Isso nos dá . Assim, é um parâmetro livre. Vamos chamar , então e .
Portanto, o núcleo é todo vetor da forma , onde é um número real.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de .
A função foi simplificada para:
Podemos representar isso como uma combinação linear das variáveis , e :
Para determinar a imagem, precisamos ver quais vetores são combinações lineares das colunas:
Observamos que a terceira coluna é duas vezes a primeira coluna:
Então, a terceira coluna não adiciona nada de novo à imagem. Assim, a imagem é gerada pelas duas primeiras colunas: