Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação definida por , onde . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observamos que:
onde é a matriz identidade :

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Para encontrar o núcleo de , queremos encontrar todas as matrizes tais que . Vamos escrever como:

Passo 5

Multiplicando por :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo as equações:

Passo 7

Assim, as matrizes no núcleo têm a forma:

Passo 8

Portanto, uma base para o núcleo de é:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem de consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como . Sabemos que o espaço tem dimensão 4.

Passo 10

Como o núcleo tem dimensão 2 (duas matrizes na base), a imagem também terá dimensão , por conta do Teorema da Dimensão.

Passo 11

Para encontrar uma base para a imagem, vamos escolher matrizes que gerem matrizes linearmente independentes quando aplicamos .
Escolhendo:
Calculando:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.

Resposta

Uma base para o núcleo de é:
e uma base para a imagem de é:

Exercícios relacionados

Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?
Responda cuidadosamente cada item:
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
Se a matriz de um operador linear do em relação à base canônica é e se , determine a matriz de em relação à base canônica do . Escreva explicitamente .
Responda cuidadosamente cada item:
(h) Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível? Justifique.