Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação definida por , onde . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observamos que:
onde é a matriz identidade :
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Para encontrar o núcleo de , queremos encontrar todas as matrizes tais que . Vamos escrever como:
Passo 5
Multiplicando por :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo as equações:
Passo 7
Assim, as matrizes no núcleo têm a forma:
Passo 8
Portanto, uma base para o núcleo de é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem de consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como . Sabemos que o espaço tem dimensão 4.
Passo 10
Como o núcleo tem dimensão 2 (duas matrizes na base), a imagem também terá dimensão , por conta do Teorema da Dimensão.
Passo 11
Para encontrar uma base para a imagem, vamos escolher matrizes que gerem matrizes linearmente independentes quando aplicamos .
Escolhendo:
Calculando:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.