Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) F: M2(R) M2(R) ; F(X)=A X+X, onde A=[ll1 & 4 2 & 3]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação 1 & 4 2 & 3 definida por , onde . Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de F(X) = A X + X = (A + I)X . Observamos que:
I = 1 & 0 0 & 1
onde é a matriz identidade :

Passo 3

Vamos calcular A + I = 1+1 & 4+0 2+0 & 3+1 = 2 & 4 2 & 4 :

Passo 4

Para encontrar o núcleo de X = x11 & x12 x21 & x22 , queremos encontrar todas as matrizes tais que . Vamos escrever como:

Passo 5

Multiplicando 2 & 4 2 & 4 x11 & x12 x21 & x22 = 2x11 + 4x21 & 2x12 + 4x22 2x11 + 4x21 & 2x12 + 4x22 = 0 & 0 0 & 0 por 2x11 + 4x21 = 0 :
2x12 + 4x22 = 0
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo as equações:
2x11 + 4x21 = 0 Rightarrow x11 = -2x21
2x12 + 4x22 = 0 Rightarrow x12 = -2x22

Passo 7

Assim, as matrizes no núcleo têm a forma:
X = -2x21 & -2x22 x21 & x22 = x21-2 & 0 1 & 0 + x220 & -2 0 & 1

Passo 8

Portanto, uma base para o núcleo de -2 & 0 1 & 0, 0 & -2 0 & 1 é:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem de consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como . Sabemos que o espaço tem dimensão 4.

Passo 10

Como o núcleo tem dimensão 2 (duas matrizes na base), a imagem também terá dimensão , por conta do Teorema da Dimensão.

Passo 11

Para encontrar uma base para a imagem, vamos escolher matrizes X1 = 1 & 0 0 & 0 e X2 = 0 & 1 0 & 0 que gerem matrizes linearmente independentes quando aplicamos F(X1) = (A + I)X1 = 2 & 4 2 & 4 1 & 0 0 & 0 = 2 & 0 2 & 0 .
Escolhendo:
F(X2) = (A + I)X2 = 2 & 4 2 & 4 0 & 1 0 & 0 = 0 & 2 0 & 2
Calculando:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.

Resposta

Uma base para o núcleo de -2 & 0 1 & 0, 0 & -2 0 & 1 é:
2 & 0 2 & 0, 0 & 2 0 & 2
e uma base para a imagem de é:

Exercícios relacionados