Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e)
, onde
(e)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A gente precisa encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação
definida por
, onde
. Vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observamos que:
onde
é a matriz identidade
:
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Para encontrar o núcleo de
, queremos encontrar todas as matrizes
tais que
. Vamos escrever
como:
Passo 5
Multiplicando
por
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo as equações:
Passo 7
Assim, as matrizes no núcleo têm a forma:
Passo 8
Portanto, uma base para o núcleo de
é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem de
consiste em todas as matrizes que podem ser escritas como
. Sabemos que o espaço
tem dimensão 4.
Passo 10
Como o núcleo tem dimensão 2 (duas matrizes na base), a imagem também terá dimensão
, por conta do Teorema da Dimensão.
Passo 11
Para encontrar uma base para a imagem, vamos escolher matrizes
que gerem matrizes linearmente independentes quando aplicamos
.
Escolhendo:
Calculando:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é:
e uma base para a imagem de
é: