Responda cuidadosamente cada item:
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente definir o Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e, em seguida, entender o que significam núcleo e imagem nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma Transformação Linear. Em Álgebra Linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades fundamentais: a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Ou seja, se é uma transformação linear, então para quaisquer vetores e qualquer escalar , temos:

Passo 3

Agora, vamos definir o Núcleo de uma Transformação Linear. O núcleo, também conhecido como kernel, é o conjunto de todos os vetores no espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Formalmente, se é uma transformação linear, então o núcleo de é definido por:
ú
Isso significa que estamos coletando todos os vetores que, quando aplicamos a transformação , resultam no vetor zero de .

Passo 4

Em seguida, vamos definir a Imagem de uma Transformação Linear. A imagem, também chamada de range, é o conjunto de todos os vetores no espaço de chegada que são resultado da aplicação da transformação em algum vetor do espaço de partida. Formalmente:
Ou seja, a imagem de é o conjunto de todos os possíveis vetores que você pode obter aplicando a qualquer vetor de .

Resposta

O Núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em , isto é:
ú
A Imagem de é o conjunto de todos os vetores em que são obtidos pela aplicação de a algum vetor de , ou seja:

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Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de F em relação à base ordenada ?
Para os operadores definidos por e , determine:
(b) e ;
Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde