Responda cuidadosamente cada item:
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente definir o Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e, em seguida, entender o que significam núcleo e imagem nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma Transformação Linear. Em Álgebra Linear, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades fundamentais: a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Ou seja, se
é uma transformação linear, então para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, temos:
Passo 3
Agora, vamos definir o Núcleo de uma Transformação Linear. O núcleo, também conhecido como kernel, é o conjunto de todos os vetores no espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Formalmente, se
é uma transformação linear, então o núcleo de
é definido por:
Isso significa que estamos coletando todos os vetores que, quando aplicamos a transformação
, resultam no vetor zero de
.
Passo 4
Em seguida, vamos definir a Imagem de uma Transformação Linear. A imagem, também chamada de range, é o conjunto de todos os vetores no espaço de chegada que são resultado da aplicação da transformação
em algum vetor do espaço de partida. Formalmente:
Ou seja, a imagem de
é o conjunto de todos os possíveis vetores que você pode obter aplicando
a qualquer vetor de
.
Resposta
O Núcleo de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
, isto é:
A Imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que são obtidos pela aplicação de
a algum vetor de
, ou seja:
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear sobre
definido por
. Qual é a matriz de F em relação à base ordenada
?
Para os operadores
definidos por
e
, determine:
(b) e
;
(b)
Seja
o operador linear sobre
definido por
. Qual é a matriz de
em relação à base canônica do
?
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde
(e)