Se a matriz de um operador linear F do R^3 em relação à base canônica é [ccc1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1] e se G=I+F+2 F^2, determine a matriz de G em relação à base canônica do R^3. Escreva explicitamente G(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre operadores lineares e matrizes. A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço na base canônica. Queremos encontrar a matriz de outro operador , que é definido como . Para resolver isso, vamos precisar calcular , multiplicar por 2, somar com e com a matriz identidade . No final, também vamos expressar de forma explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular F = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 , que é simplesmente a matriz F^2 = F times F = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 0 cdot 1 & 1 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot (-1) 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 + 1 cdot 1 + 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot (-1) 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + (-1) cdot 0 & 0 cdot 1 + 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + (-1) cdot (-1) multiplicada por ela mesma. A matriz F^2 = 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 dada é:
Para calcular , fazemos a multiplicação de matrizes:
Calculando cada entrada:

Passo 3

Agora, vamos calcular 2F^2 = 2 times 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 2 & 4 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz por 2:

Passo 4

Em seguida, vamos somar I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade G = I + F + 2F^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 + 2 & 4 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 no espaço G = 1+1+2 & 0+1+4 & 0+0+0 0+0+0 & 1+1+2 & 0+0+0 0+0+0 & 0+1+0 & 1+(-1)+2 = 4 & 5 & 0 0 & 4 & 0 0 & 1 & 2 é:
Agora, somamos as matrizes:
Somando elemento a elemento:

Resposta

A matriz de G = 4 & 5 & 0 0 & 4 & 0 0 & 1 & 2 na base canônica de G(x, y, z) = 4x + 5y 4y y + 2z é:
E, explicitamente, a transformação é dada por:

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