Se a matriz de um operador linear do em relação à base canônica é e se , determine a matriz de em relação à base canônica do . Escreva explicitamente .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre operadores lineares e matrizes. A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço na base canônica. Queremos encontrar a matriz de outro operador , que é definido como . Para resolver isso, vamos precisar calcular , multiplicar por 2, somar com e com a matriz identidade . No final, também vamos expressar de forma explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é simplesmente a matriz multiplicada por ela mesma. A matriz dada é:
Para calcular , fazemos a multiplicação de matrizes:
Calculando cada entrada:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz por 2:

Passo 4

Em seguida, vamos somar . A matriz identidade no espaço é:
Agora, somamos as matrizes:
Somando elemento a elemento:

Resposta

A matriz de na base canônica de é:
E, explicitamente, a transformação é dada por:

Exercícios relacionados

Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde
Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?
Responda cuidadosamente cada item:
(h) Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível? Justifique.
Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?