Se a matriz de um operador linear do em relação à base canônica é e se , determine a matriz de em relação à base canônica do . Escreva explicitamente .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre operadores lineares e matrizes. A gente tem uma matriz que representa um operador linear no espaço na base canônica. Queremos encontrar a matriz de outro operador , que é definido como . Para resolver isso, vamos precisar calcular , multiplicar por 2, somar com e com a matriz identidade . No final, também vamos expressar de forma explícita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que é simplesmente a matriz multiplicada por ela mesma. A matriz dada é:
Para calcular , fazemos a multiplicação de matrizes:
Calculando cada entrada:
Passo 3
Agora, vamos calcular . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz por 2:
Passo 4
Em seguida, vamos somar . A matriz identidade no espaço é: