Responda cuidadosamente cada item:
(h) Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível? Justifique.

Passo 1

Vamos começar entendendo a pergunta: “Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível?” Aqui, estamos falando sobre transformações lineares e matrizes que as representam. Para responder, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e quais são as condições para isso.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz invertível? Uma matriz invertível é aquela que possui uma matriz inversa, ou seja, existe outra matriz que, quando multiplicada com a original, resulta na matriz identidade. A matriz identidade é aquela que não altera nenhum vetor quando usada na transformação.

Passo 3

Para uma matriz ser invertível, ela precisa atender a algumas condições importantes:
  • Determinante diferente de zero: Se o determinante da matriz for zero, ela não tem inversa.
  • Transformação bijetora: A transformação linear deve ser tanto injetora (não “cola” dois vetores diferentes em um só) quanto sobrejetora (alcança todo o espaço de chegada).

Passo 4

Agora, relacionando com as transformações lineares: nem toda transformação linear é invertível porque nem todas elas são bijetoras. Por exemplo, uma transformação que “achata” um espaço dimensional para outro menor (como transformar um plano 3D em uma linha 2D) não será invertível, pois perde informação e não pode ser desfeita.

Resposta

Não, nem toda matriz de uma transformação linear é invertível. Apenas aquelas que representam transformações bijetoras, com determinante diferente de zero, possuem uma matriz inversa.

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Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde
Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?
Quais das funções definidas abaixo são transformações lineares?
(e)