Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve álgebra linear, mais especificamente operadores lineares. A questão diz que existe um operador linear definido em por . Nosso objetivo é descobrir qual é a matriz que representa esse operador na base canônica de . Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores lineares se relacionam com suas matrizes e como trabalhar com a base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de . A base canônica é composta pelos vetores e . Esses vetores são a base padrão que usamos para representar qualquer vetor em .

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de na base canônica, vamos aplicar o operador a cada um dos vetores da base e ver o que acontece. Isso vai nos dar as colunas da matriz.

Passo 4

Vamos aplicar ao primeiro vetor da base, :
Então, a primeira coluna da matriz será .

Passo 5

Agora, aplicamos ao segundo vetor da base, :
Então, a segunda coluna da matriz será .

Resposta

A matriz de na base canônica de é:

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Responda cuidadosamente cada item:
(b) Defina Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear.
Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de F em relação à base ordenada ?
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
(e) , onde
Se a matriz de um operador linear do em relação à base canônica é e se , determine a matriz de em relação à base canônica do . Escreva explicitamente .