Seja F o operador linear sobre R^2 definido por F(x, y)=(-y, x). Qual é a matriz de F em relação à base canônica do R^2 ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve álgebra linear, mais especificamente operadores lineares. A questão diz que existe um operador linear definido em por . Nosso objetivo é descobrir qual é a matriz que representa esse operador na base canônica de . Para resolver isso, vamos precisar entender como os operadores lineares se relacionam com suas matrizes e como trabalhar com a base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de . A base canônica é composta pelos vetores e . Esses vetores são a base padrão que usamos para representar qualquer vetor em .

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz de na base canônica, vamos aplicar o operador a cada um dos vetores da base e ver o que acontece. Isso vai nos dar as colunas da matriz.

Passo 4

Vamos aplicar F(e1) = F(1, 0) = (-0, 1) = (0, 1) ao primeiro vetor da base, :
Então, a primeira coluna da matriz será .

Passo 5

Agora, aplicamos F(e2) = F(0, 1) = (-1, 0) = (-1, 0) ao segundo vetor da base, :
Então, a segunda coluna da matriz será .

Resposta

A matriz de 0 & -1 1 & 0 na base canônica de é:

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