Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o e a . Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por:
Nosso objetivo é encontrar o Núcleo de (denotado por ) e a Imagem de (denotada por ). Depois, vamos verificar se é injetora, sobrejetora ou bijetora, identificar se é invertível (é um isomorfismo) e, se for o caso, determinar a inversa .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e .
Núcleo : É o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, .
Imagem : É o conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores em através de . Ou seja, .
Passo 3
Para encontrar e , precisamos primeiro representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que mapeia vetores de para , então a matriz de terá 2 linhas e 3 colunas.
Vamos chamar a matriz de de , onde:
Queremos encontrar os valores de .
Passo 4
Sabemos que:
No entanto, observamos que há uma inconsistência aqui, porque mapeia de para , mas os vetores de entrada têm apenas 2 componentes. Vamos supor que houve um erro de digitação e que é de para . Assim, ajustamos:
Se , então:
E temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os elementos da matriz .
Primeira, da equação :
Substituindo em :
Então,
Agora, da equação :
Substituindo em :
Então,
Finalmente, da equação :
Substituindo em :
Então,
Passo 6
Agora que temos todos os elementos de , podemos escrever a matriz completa:
Passo 7
Núcleo :
O núcleo de é o conjunto de soluções da equação , onde .
Vamos resolver:
Podemos simplificar multiplicando todas as equações por 7:
Observamos que a terceira equação é o negativo da primeira, então temos apenas duas equações independentes:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero:
Passo 8
Imagem :
A imagem de é gerada pelas colunas da matriz . As colunas são:
Queremos verificar se essas colunas são linearmente independentes.
Calculamos o determinante de uma matriz com essas colunas, mas como temos 3 linhas e 2 colunas, precisamos encontrar a dimensão do espaço gerado por elas.
Observamos que as colunas não são múltiplos uma da outra, então é um subespaço de de dimensão 2, ou seja:
Passo 9
Injetora, Sobrejetora ou Bijetora:
Injetora: Uma transformação é injetora se . No nosso caso, isso é verdadeiro, então é injetora.
Sobrejetora: Uma transformação é sobrejetora se . No nosso caso, é um subespaço de , então não é sobrejetora para .
Bijetora: Uma transformação que é injetora e sobrejetora é bijetora. Como não é sobrejetora, não é bijetora.
Passo 10
Inversível (Isomorfismo):
Uma transformação linear é invertível se e somente se ela é bijetora. Como não é bijetora, não é invertível. Portanto, não existe.
Resposta
O Núcleo de é e a Imagem de é . A transformação é injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora. Portanto, não é invertível.