Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o N(T) e a Im(T). Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine T^-1. T: R^3 R^2 ; T(2,3)=(-1,0,1), T(1,-2)=(0,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear T(2, 3) = (-1, 0, 1), T(1, -2) = (0, -1, 0) definida por:
Nosso objetivo é encontrar o Núcleo de (denotado por ) e a Imagem de (denotada por ). Depois, vamos verificar se é injetora, sobrejetora ou bijetora, identificar se é invertível (é um isomorfismo) e, se for o caso, determinar a inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e .
  • Núcleo : É o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, .
  • Imagem : É o conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores em através de . Ou seja, .

Passo 3

Para encontrar A = a & b & c d & e & f e , precisamos primeiro representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que mapeia vetores de para , então a matriz de terá 2 linhas e 3 colunas.
Vamos chamar a matriz de de , onde:
Queremos encontrar os valores de .

Passo 4

Sabemos que:
T(2, 3, z) = (-1, 0, 1)
T(1, -2, z') = (0, -1, 0)
No entanto, observamos que há uma inconsistência aqui, porque A = a & b c & d e & f mapeia de T(2, 3) = (-1, 0, 1) Rightarrow 2a + 3b = -1, 2c + 3d = 0, 2e + 3f = 1 para T(1, -2) = (0, -1, 0) Rightarrow a - 2b = 0, c - 2d = -1, e - 2f = 0 , mas os vetores de entrada têm apenas 2 componentes. Vamos supor que houve um erro de digitação e que é de para . Assim, ajustamos:
Se , então:
E temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os elementos da matriz a = 2b .
Primeira, da equação 2(2b) + 3b = -1 Rightarrow 4b + 3b = -1 Rightarrow 7b = -1 Rightarrow b = -17 :
a = 2 ( -17 ) = -27
Substituindo em c = 2d - 1 :
2(2d - 1) + 3d = 0 Rightarrow 4d - 2 + 3d = 0 Rightarrow 7d = 2 Rightarrow d = 27
Então,
c = 2 ( 27 ) - 1 = 47 - 1 = -37
Agora, da equação e = 2f :
2(2f) + 3f = 1 Rightarrow 4f + 3f = 1 Rightarrow 7f = 1 Rightarrow f = 17
Substituindo em e = 2 ( 17 ) = 27 :
Então,
Finalmente, da equação :
Substituindo em :
Então,

Passo 6

Agora que temos todos os elementos de A = -27 & -17 -37 & 27 27 & 17 , podemos escrever a matriz completa:

Passo 7

Núcleo -27x1 - 17x2 = 0 -37x1 + 27x2 = 0 27x1 + 17x2 = 0 :
O núcleo de -2x1 - x2 = 0 -3x1 + 2x2 = 0 2x1 + x2 = 0 é o conjunto de soluções da equação -2x1 - x2 = 0 -3x1 + 2x2 = 0 , onde x2 = -2x1 .
Vamos resolver:
-3x1 + 2(-2x1) = 0 Rightarrow -3x1 -4x1 = 0 Rightarrow -7x1 = 0 Rightarrow x1 = 0
Podemos simplificar multiplicando todas as equações por 7:
x2 = -2(0) = 0
Observamos que a terceira equação é o negativo da primeira, então temos apenas duas equações independentes:
N(T) = 0
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero:

Passo 8

Imagem a1 = -27 -37 27 , a2 = -17 27 17 :
A imagem de Im(T) = span a1, a2 é gerada pelas colunas da matriz . As colunas são:
Queremos verificar se essas colunas são linearmente independentes.
Calculamos o determinante de uma matriz com essas colunas, mas como temos 3 linhas e 2 colunas, precisamos encontrar a dimensão do espaço gerado por elas.
Observamos que as colunas não são múltiplos uma da outra, então é um subespaço de de dimensão 2, ou seja:

Passo 9

Injetora, Sobrejetora ou Bijetora:
  • Injetora: Uma transformação é injetora se . No nosso caso, isso é verdadeiro, então é injetora.
  • Sobrejetora: Uma transformação é sobrejetora se . No nosso caso, é um subespaço de , então não é sobrejetora para .
  • Bijetora: Uma transformação que é injetora e sobrejetora é bijetora. Como não é sobrejetora, não é bijetora.

Passo 10

Inversível (Isomorfismo):
Uma transformação linear é invertível se e somente se ela é bijetora. Como não é bijetora, não é invertível. Portanto, não existe.

Resposta

O Núcleo de é e a Imagem de é . A transformação é injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora. Portanto, não é invertível.

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