Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
& -2 x1+x2+6 x3=18 & 5 x1+8 x3=-16 & 3 x1+2 x2-10 x3=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica para solucionar sistemas lineares transformando as equações em uma matriz escalonada. A gente vai precisar conhecer como manipular linhas de uma matriz para chegar numa forma onde seja fácil encontrar as soluções das incógnitas. O sistema que vamos resolver é:
& -2 x1 + x2 + 6 x3 = 18 & 5 x1 + 8 x3 = -16 & 3 x1 + 2 x2 - 10 x3 = -3

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
-2 & 1 & 6 & | & 18 5 & 0 & 8 & | & -16 3 & 2 & -10 & | & -3
Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer para escalonar a matriz.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para direita) a gente tenha zeros. Vamos começar eliminando o R2 = R2 + (-52) times R1 das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vou multiplicar a primeira linha por R2 = 5x1 + 8x3 + (-52)(-2x1 + x2 + 6x3) = 0x1 + novo x2 + novo x3 = novo constante e somar com a segunda linha para eliminar o -2 & 1 & 6 & | & 18 0 & 52 & -7 & | & -63 3 & 2 & -10 & | & -3 :
Calculando:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o R3 = R3 + (-32) times R1 da terceira linha. Para isso, vou multiplicar a primeira linha por R3 = 3x1 + 2x2 -10x3 + (-32)(-2x1 + x2 + 6x3) = 0x1 + novo x2 + novo x3 = novo constante e somar com a terceira linha:
-2 & 1 & 6 & | & 18 0 & 52 & -7 & | & -63 0 & 72 & -1 & | & 24
Calculando:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda e terceira linhas para eliminar o R3 = R3 - (75) times R2 da terceira linha. Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por R3 = 0x1 + 72x2 -1x3 - (75)(52x2 -7x3) = 0x1 + 0x2 + (245)x3 = 24 - (75)(-63) e subtrair da terceira linha:
-2 & 1 & 6 & | & 18 0 & 52 & -7 & | & -63 0 & 0 & 245 & | & 24 + 88.21
Calculando:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora que a matriz está escalonada, podemos resolver as equações de baixo para cima. A última linha nos dá:
245x3 = algum valor
Vamos calcular o valor certo para encontrar .

Passo 7

Depois de encontrar , substituímos de volta na segunda linha para encontrar , e então usamos e na primeira linha para encontrar .

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 3 x2 = -9 x3 = 2

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