Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica para solucionar sistemas lineares transformando as equações em uma matriz escalonada. A gente vai precisar conhecer como manipular linhas de uma matriz para chegar numa forma onde seja fácil encontrar as soluções das incógnitas. O sistema que vamos resolver é:
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer para escalonar a matriz.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para direita) a gente tenha zeros. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vou multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda linha para eliminar o :
Calculando:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, vou multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira linha:
Calculando:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar com a segunda e terceira linhas para eliminar o da terceira linha. Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por e subtrair da terceira linha:
Calculando:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora que a matriz está escalonada, podemos resolver as equações de baixo para cima. A última linha nos dá:
Vamos calcular o valor certo para encontrar .
Passo 7
Depois de encontrar , substituímos de volta na segunda linha para encontrar , e então usamos e na primeira linha para encontrar .