Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica para solucionar sistemas lineares transformando as equações em uma matriz escalonada. A gente vai precisar conhecer como manipular linhas de uma matriz para chegar numa forma onde seja fácil encontrar as soluções das incógnitas. O sistema que vamos resolver é:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer para escalonar a matriz.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo e da esquerda para direita) a gente tenha zeros. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vou multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda linha para eliminar o :
Calculando:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, vou multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira linha:
Calculando:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda e terceira linhas para eliminar o da terceira linha. Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por e subtrair da terceira linha:
Calculando:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora que a matriz está escalonada, podemos resolver as equações de baixo para cima. A última linha nos dá:
Vamos calcular o valor certo para encontrar .

Passo 7

Depois de encontrar , substituímos de volta na segunda linha para encontrar , e então usamos e na primeira linha para encontrar .

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o e a . Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine .
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Prove que se é base, e , então
Considere a transformação dada por . Mostre que é linear e determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de .