Prove que se (e1, e2, e3) é base, e x in V^3, então
x=[[x, e2, e3][e1, e2, e3] e1+[x, e3, e1][e1, e2, e3] e2+[x, e1, e2][e1, e2, e3] e3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma relação envolvendo uma base (e1, e2, e3) em um espaço vetorial V^3 e um vetor qualquer x nesse espaço. A matéria que vamos usar aqui é a teoria das bases e coordenadas de vetores no espaço tridimensional, além de trabalhar com determinantes para encontrar as coordenadas do vetor x em relação à base dada. Vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se (e1, e2, e3) é uma base de V^3, então qualquer vetor x in V^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
x = ae1 + be2 + ce3
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a, b e c em termos de determinantes envolvendo x e os vetores da base.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz. O determinante nos ajuda a resolver sistemas lineares e, nesse caso, será usado para isolar cada coeficiente.
Vamos considerar o determinante formado pela base:
De
Esse determinante é diferente de zero porque (e1, e2, e3) é uma base, ou seja, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, para encontrar o coeficiente a, substituímos a primeira coluna da matriz dos determinantes por x:
De
Então, a é dado por:
a = De

Passo 5

De maneira semelhante, para o coeficiente b, substituímos a segunda coluna por x:
De
Então, b é:
b = De

Passo 6

Finalmente, para o coeficiente c, substituímos a terceira coluna por x:
De
E então:
c = De

Passo 7

Substituindo os valores encontrados de a, b e c na expressão inicial da combinação linear, temos:
x = ae1 + be2 + ce3 = [x, e2, e3][e1, e2, e3] e1 + [e1, x, e3][e1, e2, e3] e2 + [e1, e2, x][e1, e2, e3] e3

Resposta

Portanto, provamos que para qualquer vetor x in V^3, temos:
x = [x, e2, e3][e1, e2, e3] e1 + [x, e3, e1][e1, e2, e3] e2 + [x, e1, e2][e1, e2, e3] e3

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