Prove que se é base, e , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma relação envolvendo uma base em um espaço vetorial e um vetor qualquer nesse espaço. A matéria que vamos usar aqui é a teoria das bases e coordenadas de vetores no espaço tridimensional, além de trabalhar com determinantes para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base dada. Vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é uma base de , então qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e em termos de determinantes envolvendo e os vetores da base.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz. O determinante nos ajuda a resolver sistemas lineares e, nesse caso, será usado para isolar cada coeficiente.
Vamos considerar o determinante formado pela base:
Esse determinante é diferente de zero porque é uma base, ou seja, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, para encontrar o coeficiente , substituímos a primeira coluna da matriz dos determinantes por :
Então, é dado por:

Passo 5

De maneira semelhante, para o coeficiente , substituímos a segunda coluna por :
Então, é:

Passo 6

Finalmente, para o coeficiente , substituímos a terceira coluna por :
E então:

Passo 7

Substituindo os valores encontrados de , e na expressão inicial da combinação linear, temos:

Resposta

Portanto, provamos que para qualquer vetor , temos:

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