Prove que se
é base, e
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma relação envolvendo uma base
em um espaço vetorial
e um vetor qualquer
nesse espaço. A matéria que vamos usar aqui é a teoria das bases e coordenadas de vetores no espaço tridimensional, além de trabalhar com determinantes para encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base dada. Vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é uma base de
, então qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
em termos de determinantes envolvendo
e os vetores da base.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz. O determinante nos ajuda a resolver sistemas lineares e, nesse caso, será usado para isolar cada coeficiente.
Vamos considerar o determinante formado pela base:
Esse determinante é diferente de zero porque
é uma base, ou seja, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, para encontrar o coeficiente
, substituímos a primeira coluna da matriz dos determinantes por
:
Então,
é dado por:
Passo 5
De maneira semelhante, para o coeficiente
, substituímos a segunda coluna por
:
Então,
é:
Passo 6
Finalmente, para o coeficiente
, substituímos a terceira coluna por
:
E então:
Passo 7
Substituindo os valores encontrados de
,
e
na expressão inicial da combinação linear, temos:
Resposta
Portanto, provamos que para qualquer vetor
, temos:
Exercícios relacionados
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o
e a
. Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine
.
Considere a transformação
dada por
. Mostre que
é linear e determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de
.
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