Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é
Sugestāo Volume área .
Passo 1
Então, a gente tem um tetraedro e queremos provar que a altura desse tetraedro relativa à base é dada por
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de geometria espacial, especificamente com volumes de tetraedros e produtos vetoriais. Vamos precisar entender como calcular o volume do tetraedro de duas maneiras diferentes para chegar à fórmula da altura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro usando a área da base e a altura. A fórmula geral para o volume é:
Á
No nosso caso, a base é o triângulo , então a área da base é Á e a altura é .
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do tetraedro usando o produto misto dos vetores. O produto misto nos dá seis vezes o volume do tetraedro. Então, o volume também pode ser expresso como:
Passo 4
Como temos duas expressões para o volume , podemos igualá-las:
Á
Passo 5
Simplificando a equação para resolver , multiplicamos ambos os lados por 3:
Á
Então, isolamos :
Á
Passo 6
Sabemos que a área de um triângulo formado por dois vetores e é dada pela metade da norma do produto vetorial desses vetores: