Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é
Sugestāo Volume área .

Passo 1

Então, a gente tem um tetraedro e queremos provar que a altura desse tetraedro relativa à base é dada por
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de geometria espacial, especificamente com volumes de tetraedros e produtos vetoriais. Vamos precisar entender como calcular o volume do tetraedro de duas maneiras diferentes para chegar à fórmula da altura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro usando a área da base e a altura. A fórmula geral para o volume é:
Á
No nosso caso, a base é o triângulo , então a área da base é Á e a altura é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do tetraedro usando o produto misto dos vetores. O produto misto nos dá seis vezes o volume do tetraedro. Então, o volume também pode ser expresso como:

Passo 4

Como temos duas expressões para o volume , podemos igualá-las:
Á

Passo 5

Simplificando a equação para resolver , multiplicamos ambos os lados por 3:
Á
Então, isolamos :
Á

Passo 6

Sabemos que a área de um triângulo formado por dois vetores e é dada pela metade da norma do produto vetorial desses vetores:
Á

Passo 7

Substituindo a expressão da área na fórmula de :
Os se cancelam:

Resposta

Portanto, a altura do tetraedro relativa à base é

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