Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o e a . Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine .
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem uma transformação linear que pega matrizes e transforma em vetores de . A tarefa é descobrir o Núcleo de () e a Imagem de (). Depois, vamos ver se essa transformação é injetora, sobrejetora ou bijetora, e se ela tem uma inversa, ou seja, se é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar lembrar como encontrar o núcleo e a imagem de uma transformação linear e entender os conceitos de injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de , que é o conjunto de todas as matrizes em tal que . Ou seja, queremos todas as matrizes que satisfazem:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Então, . Isso não nos dá nenhuma informação sobre e , então eles podem ser quaisquer números reais. Portanto, o Núcleo de é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a Imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em alguma matriz de . Ou seja:
Note que a imagem só depende de e , então podemos considerar e como variáveis livres que não afetam a imagem.
Passo 5
Para determinar a Imagem de , vamos ver se podemos expressar qualquer vetor em como . Temos o sistema:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Isso mostra que para qualquer , existem e que satisfazem as equações. Portanto, a Imagem de é todo :
Passo 6
Agora, vamos analisar as propriedades da transformação :
Injetora: Uma transformação é injetora se seu núcleo contém apenas o vetor zero. Neste caso, contém muitas matrizes além da matriz zero (infinitas combinações de e ). Portanto, não é injetora.
Sobrejetora: Uma transformação é sobrejetora se sua imagem é todo o espaço de chegada. Como , é sobrejetora.
Bijetora: Uma transformação é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora. Já vimos que não é injetora, então não é bijetora.
Passo 7
Para saber se é inversível, ou seja, se existe uma transformação tal que para toda matriz em , precisamos que seja bijetora. Como vimos que não é bijetora, não é inversível, então não existe .