Determine uma transformação linear cujo núcleo é gerado pelo vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma transformação linear cuja núcleo seja gerado pelo vetor . Aqui, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que tenha esse vetor no seu núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , nossa matriz vai ser . Queremos que apenas os múltiplos do vetor sejam enviados para o zero. Isso significa que a matriz deve ter rank 2 (pois o núcleo tem dimensão 1).
Passo 3
Para garantir que esteja no núcleo, precisamos que multiplicando a matriz por esse vetor resulte no vetor zero. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações que vamos usar para determinar os elementos da matriz .
Passo 4
Vamos chamar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k de:
Multiplicando por a - b + 2c = 0 d - e + 2f = 0 g - h + 2k = 0 :
Isso resulta nas seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para expressar alguns elementos da matriz a = b - 2c d = e - 2f g = h - 2k em função dos outros. Por exemplo, podemos escolher A = b - 2c & b & c e - 2f & e & f h - 2k & h & k como variáveis livres:
Assim, a matriz fica:
Passo 6
Como há muitas soluções possíveis, vamos escolher valores simples para as variáveis livres para facilitar. Por exemplo, podemos definir a = 2 - 2(1) = 0 d = 0 - 2(1) = -2 g = 0 - 2(1) = -2 , A = 0 & 2 & 1 -2 & 0 & 1 -2 & 0 & 1 , , , , . Substituindo esses valores:
Então, a matriz fica:
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é representada pela matriz: