Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 cujo núcleo é gerado pelo vetor (1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma transformação linear cuja núcleo seja gerado pelo vetor . Aqui, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que tenha esse vetor no seu núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como vai de para , nossa matriz vai ser . Queremos que apenas os múltiplos do vetor sejam enviados para o zero. Isso significa que a matriz deve ter rank 2 (pois o núcleo tem dimensão 1).

Passo 3

Para garantir que A 1 -1 2 = 0 0 0 esteja no núcleo, precisamos que multiplicando a matriz por esse vetor resulte no vetor zero. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações que vamos usar para determinar os elementos da matriz .

Passo 4

Vamos chamar a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k de:
a(1) + b(-1) + c(2) d(1) + e(-1) + f(2) g(1) + h(-1) + k(2) = 0 0 0
Multiplicando por a - b + 2c = 0 d - e + 2f = 0 g - h + 2k = 0 :
Isso resulta nas seguintes equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para expressar alguns elementos da matriz a = b - 2c d = e - 2f g = h - 2k em função dos outros. Por exemplo, podemos escolher A = b - 2c & b & c e - 2f & e & f h - 2k & h & k como variáveis livres:
Assim, a matriz fica:

Passo 6

Como há muitas soluções possíveis, vamos escolher valores simples para as variáveis livres para facilitar. Por exemplo, podemos definir a = 2 - 2(1) = 0 d = 0 - 2(1) = -2 g = 0 - 2(1) = -2 , A = 0 & 2 & 1 -2 & 0 & 1 -2 & 0 & 1 , , , , . Substituindo esses valores:
Então, a matriz fica:

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é representada pela matriz:
T = 0 & 2 & 1 -2 & 0 & 1 -2 & 0 & 1

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