Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares homogêneas, que significa que todas as constantes são zero. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear para resolver esse sistema e encontrar todas as possíveis soluções para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações que temos:
Perceba que a segunda equação é simplesmente o oposto da primeira. Isso significa que, na verdade, são a mesma equação! Então, essencialmente, temos apenas uma equação para duas incógnitas.
Passo 3
Como temos uma equação com duas variáveis, isso indica que teremos infinitas soluções. Vamos resolver para uma das variáveis em termos da outra. Vamos isolar
na primeira equação:
Agora, podemos deixar
como um parâmetro livre, digamos
. Então:
Onde
pode ser qualquer número real.
Resposta
Todas as soluções do sistema são da forma:
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Sabendo que
, calcular:
.
Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o
e a
. Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine
.
Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(g) e
.
(g)
Seja
uma transformação linear. Mostre que:
não pode ser sobrejetora.