Sabendo que , calcular: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que diz que o produto misto de três vetores, dado por , é igual a -5. Nossa missão é calcular o produto escalar . Para isso, vamos precisar entender como o produto misto funciona e como ele se relaciona com o produto vetorial e escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. Ele é uma operação que envolve três vetores e é definido por:
Ou seja, você faz o produto vetorial de e , e depois faz o produto escalar desse resultado com . Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que é o mesmo que . Vamos observar uma propriedade legal dos produtos vetoriais: a ordem dos vetores altera o sinal. Ou seja,
Então, podemos reescrever nosso produto escalar assim:

Passo 4

Agora, vamos conectar isso com o produto misto que a gente já conhece. O termo é justamente o produto misto . Sabemos que trocar a ordem dos vetores no produto misto muda o sinal dependendo de quantas trocas fazemos. Nesse caso, trocamos e , que é uma única troca (troca ímpar), então:

Passo 5

Substituindo esse valor de volta na nossa expressão anterior:

Resposta

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Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o e a . Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine .
Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo: e
Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(g) e .