Sabendo que (u, v, w)=-5, calcular: lang<=v,(w times u)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que diz que o produto misto de três vetores, dado por (u, v, w), é igual a -5. Nossa missão é calcular o produto escalar lang<= v, (w times u) rang<=. Para isso, vamos precisar entender como o produto misto funciona e como ele se relaciona com o produto vetorial e escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. Ele é uma operação que envolve três vetores e é definido por:
(u, v, w) = u cdot (v times w)
Ou seja, você faz o produto vetorial de v e w, e depois faz o produto escalar desse resultado com u. Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Agora, precisamos calcular lang<= v, (w times u) rang<=, que é o mesmo que v cdot (w times u). Vamos observar uma propriedade legal dos produtos vetoriais: a ordem dos vetores altera o sinal. Ou seja,
w times u = - (u times w)
Então, podemos reescrever nosso produto escalar assim:
v cdot (w times u) = v cdot (- (u times w)) = - v cdot (u times w)

Passo 4

Agora, vamos conectar isso com o produto misto que a gente já conhece. O termo v cdot (u times w) é justamente o produto misto (v, u, w). Sabemos que trocar a ordem dos vetores no produto misto muda o sinal dependendo de quantas trocas fazemos. Nesse caso, trocamos u e v, que é uma única troca (troca ímpar), então:
(v, u, w) = - (u, v, w) = - (-5) = 5

Passo 5

Substituindo esse valor de volta na nossa expressão anterior:
v cdot (w times u) = - v cdot (u times w) = -5

Resposta

lang<= v, (w times u) rang<= = -5

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