Sabendo que
, calcular:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que diz que o produto misto de três vetores, dado por
, é igual a -5. Nossa missão é calcular o produto escalar
. Para isso, vamos precisar entender como o produto misto funciona e como ele se relaciona com o produto vetorial e escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. Ele é uma operação que envolve três vetores e é definido por:
Ou seja, você faz o produto vetorial de
e
, e depois faz o produto escalar desse resultado com
. Esse valor também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é o mesmo que
. Vamos observar uma propriedade legal dos produtos vetoriais: a ordem dos vetores altera o sinal. Ou seja,
Então, podemos reescrever nosso produto escalar assim:
Passo 4
Agora, vamos conectar isso com o produto misto que a gente já conhece. O termo
é justamente o produto misto
. Sabemos que trocar a ordem dos vetores no produto misto muda o sinal dependendo de quantas trocas fazemos. Nesse caso, trocamos
e
, que é uma única troca (troca ímpar), então:
Passo 5
Substituindo esse valor de volta na nossa expressão anterior:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada uma das transformações lineares abaixo determine o
e a
. Em seguida responda se a transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora. Quais das aplicações lineares são inversíveis (isomorfismos)? Nestes casos, determine
.
Encontre a distância entre os pontos
e
nos casos abaixo:
e
Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(g) e
.
(g)