Para cada uma das transformaçồes lineares dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de . definida por .
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo () e da imagem () dessa transformação. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Como mapeia para , a matriz associada terá 3 linhas e 4 colunas, onde cada coluna representa os coeficientes das variáveis e nas expressões de .
Passo 3
Construímos a matriz de :
Passo 4
Para encontrar o núcleo de x + 2y + 3z + 2t = 0 2x + 4y + 7z + 5t = 0 x + 2y + 6z + 5t = 0 , precisamos resolver a equação , onde . Isso significa encontrar todas as combinações de e que satisfazem o sistema linear:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, mantemos a primeira equação:
x + 2y + 3z + 2t = 0 (Equação 1) çã
Em seguida, subtraímos 2 vezes a Equação 1 da Equação 2: