Para cada uma das transformaçồes lineares F dadas, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de F. F: R^4 R^3 definida por F(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+2 t, 2 x+4 y+7 z+5 t, x+2 y+6 z+5 t).

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo ( ) e da imagem ( ) dessa transformação. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Como mapeia para , a matriz associada terá 3 linhas e 4 colunas, onde cada coluna representa os coeficientes das variáveis e nas expressões de .

Passo 3

Construímos a matriz de A = 1 & 2 & 3 & 2 2 & 4 & 7 & 5 1 & 2 & 6 & 5 :

Passo 4

Para encontrar o núcleo de x + 2y + 3z + 2t = 0 2x + 4y + 7z + 5t = 0 x + 2y + 6z + 5t = 0 , precisamos resolver a equação , onde . Isso significa encontrar todas as combinações de e que satisfazem o sistema linear:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss.
Primeiro, mantemos a primeira equação:
x + 2y + 3z + 2t = 0 (Equação 1) çã
Em seguida, subtraímos 2 vezes a Equação 1 da Equação 2:
(2x + 4y + 7z + 5t) - 2(x + 2y + 3z + 2t) = 0 Rightarrow z + t = 0 (Equação 2) çã
Fazemos o mesmo com a Equação 3:
(x + 2y + 6z + 5t) - (x + 2y + 3z + 2t) = 0 Rightarrow 3z + 3t = 0 Rightarrow z + t = 0 (Equação 3) çã

Passo 6

Observamos que tanto a Equação 2 quanto a Equação 3 resultaram em x + 2y + 3z + 2(-z) = x + 2y + z = 0 Rightarrow x = -2y - z , o que nos dá .
Substituímos na Equação 1:

Passo 7

Agora, expressamos x = -2y - z t = -z e v = (-2y - z, y, z, -z) = y(-2, 1, 0, 0) + z(-1, 0, 1, -1) em termos de e :
Portanto, o vetor pode ser escrito como:

Passo 8

Isso significa que todo vetor no núcleo de -2 1 0 0 , -1 0 1 -1 pode ser expresso como combinação linear dos vetores e .
Portanto, uma base para é:
E a dimensão de é 2, pois temos dois vetores na base.

Passo 9

Para encontrar a imagem de 1 & 2 & 3 & 2 2 & 4 & 7 & 5 1 & 2 & 6 & 5 xrightarrowE<=minação 1 & 2 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 3 & 3 xrightarrowContinuar 1 & 2 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ( ), observamos que ela é gerada pelas colunas da matriz que são linearmente independentes.
Vamos reduzir a matriz para a forma escalonada:
çã
As colunas que contêm os pivôs são a primeira e a terceira.

Passo 10

Portanto, as colunas originais correspondentes aos pivôs são:
1 2 1 e 3 7 6
Esses vetores são linearmente independentes e geram a imagem de 121, 376 .
Assim, uma base para é:
E a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para o núcleo de 121 é 376 com dimensão 2, e uma base para a imagem de é com dimensão 2.

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