Sejam S, T in L(R^2, R^3) definidas por
S(x, y)=(x-y, 2 x+y,-2 x) e T(x, y)=(2 x-y, x-3 y, y)
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas: [S],[T],[S-T] e [3 S-2 T].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para encontrar as matrizes das transformações lineares e , assim como de e , usando as bases canônicas. Para isso, vamos precisar entender como transformar as funções e em matrizes e depois fazer as operações solicitadas entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz da transformação S(1, 0) = (1 - 0, 2 cdot 1 + 0, -2 cdot 1) = (1, 2, -2) . A ideia é ver o que S(0, 1) = (0 - 1, 2 cdot 0 + 1, -2 cdot 0) = (-1, 1, 0) faz com os vetores da base canônica de [S] = 1 & -1 2 & 1 -2 & 0 , que são e .
Aplicando em :
Aplicando em :
Então, a matriz de em relação às bases canônicas é formada por essas imagens como colunas:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a transformação T(1, 0) = (2 cdot 1 - 0, 1 - 3 cdot 0, 0) = (2, 1, 0) .
Aplicando T(0, 1) = (2 cdot 0 - 1, 0 - 3 cdot 1, 1) = (-1, -3, 1) em [T] = 2 & -1 1 & -3 0 & 1 :
Aplicando em :
Então, a matriz de é:

Passo 4

Agora que temos as matrizes de [S - T] = [S] - [T] = 1 & -1 2 & 1 -2 & 0 - 2 & -1 1 & -3 0 & 1 = 1-2 & -1-(-1) 2-1 & 1-(-3) -2-0 & 0-1 = -1 & 0 1 & 4 -2 & -1 e , vamos encontrar a matriz de . Isso é simplesmente a subtração das duas matrizes que encontramos.

Passo 5

Por último, vamos calcular a matriz de 3[S] = 3 cdot 1 & -1 2 & 1 -2 & 0 = 3 & -3 6 & 3 -6 & 0 . Primeiro, multiplicamos cada matriz pelo escalar correspondente e depois subtraímos.
2[T] = 2 cdot 2 & -1 1 & -3 0 & 1 = 4 & -2 2 & -6 0 & 2
3[S] - 2[T] = 3 & -3 6 & 3 -6 & 0 - 4 & -2 2 & -6 0 & 2 = 3-4 & -3-(-2) 6-2 & 3-(-6) -6-0 & 0-2 = -1 & -1 4 & 9 -6 & -2
Subtraindo:

Resposta

As matrizes das transformações lineares nas bases canônicas são:
[S] = 1 & -1 2 & 1 -2 & 0 , [T] = 2 & -1 1 & -3 0 & 1 , [S - T] = -1 & 0 1 & 4 -2 & -1 , [3S - 2T] = -1 & -1 4 & 9 -6 & -2

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