Considere as afirmações abaixo:
F I. Existe um subespaço de
que contém exatamente sete vetores.
II. Existe uma base
de
tal que nenhum dos polinômios
possui grau 2.
III. As colunas de uma matriz
são sempre l.d.
F IV. Se
é uma matriz
, então
e
tem a mesma nulidade.
V. Se
for um conjunto L.I. em um espaço vetorial
, então
.
Estão correstas as alternativas
A. I e III
B. II e IV
C. I, III e IV
E. III e IV
F.I e IV
G. I, II e V
D.
H.I e II
F I. Existe um subespaço de
F IV. Se
Estão correstas as alternativas
A. I e III
B. II e IV
C. I, III e IV
E. III e IV
F.I e IV
G. I, II e V
D.
H.I e II
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos cinco afirmações sobre conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases, dependência linear de colunas em matrizes e dimensões de espaços vetoriais. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações estão corretas e, com base nisso, escolher a alternativa certa entre as opções fornecidas.
Passo 2
Afirmação I: Existe um subespaço de
que contém exatamente sete vetores.
Vamos entender o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é fechado sob adição e multiplicação por escalar e que contém o vetor zero. Importante lembrar que, se um subespaço contém algum vetor além do vetor zero, ele necessariamente contém infinitos vetores, porque podemos multiplicar qualquer vetor por diferentes escalares.
Portanto, não é possível ter um subespaço de
que contenha apenas sete vetores. Se houver mais de um vetor não nulo, haverá infinitos vetores no subespaço.
Conclusão: A afirmação I é falsa.
Passo 3
Afirmação II: Existe uma base
de
tal que nenhum dos polinômios
possui grau 2.
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Uma base padrão desse espaço é
. A afirmação sugere que podemos encontrar uma base onde nenhum polinômio é de grau 2.
Para isso, podemos construir uma base diferente. Por exemplo, considere os polinômios
. Nenhum deles é de grau 2, e eles são linearmente independentes, formando assim uma base para
.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: As colunas de uma matriz
são sempre linearmente dependentes.
Vamos usar o Teorema da Dimensão. Em
, qualquer conjunto de mais de 1984 vetores é linearmente dependente. Aqui, temos 2004 colunas, que são vetores em
. Como 2004 > 1984, as colunas devem ser linearmente dependentes.
Conclusão: A afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Afirmação IV: Se
é uma matriz
, então
e
têm a mesma nulidade.
A nulidade de uma matriz é a dimensão do seu núcleo (espaço das soluções da equação
). O Teorema da Rango-Nullidade nos diz que:
E para a transposta
:
Sabemos que
. Portanto:
A menos que
,
e
não serão iguais.
Conclusão: A afirmação IV é falsa.
Passo 6
Afirmação V: Se
for um conjunto linearmente independente em um espaço vetorial
, então
.
A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independentes que ele pode ter. Se já temos quatro vetores linearmente independentes, então a dimensão do espaço deve ser pelo menos 4.
Conclusão: A afirmação V é verdadeira.
Resposta
As afirmações verdadeiras são II, III e V. Portanto, a alternativa correta é a D. II, III e V.