Quais das seguintes aplicações de
em
são operadores lineares?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe pergunta: “Quais das seguintes aplicações de
em
são operadores lineares?” Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define um operador linear e como verificar se uma aplicação específica satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Em álgebra linear, um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) de maneira que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, se temos uma aplicação
, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições devem ser verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Passo 3
Agora, como identificar se uma aplicação específica é linear? Bem, vamos supor que você tenha uma aplicação específica, como por exemplo:
onde
é uma matriz
. Nesse caso, a aplicação é linear porque a multiplicação por uma matriz preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Porém, nem toda aplicação de
para
é linear. Por exemplo, se tivermos uma aplicação definida por:
onde
é um vetor fixo em
, essa não é uma aplicação linear, a menos que
. Isso porque a adição de
não preserva a origem, quebrando a condição de linearidade.
Passo 5
Então, para cada aplicação específica que você tem, o que precisa fazer é:
- Verificar a adição de vetores: Confira se
para quaisquer . - Verificar a multiplicação por escalar: Veja se
para qualquer escalar .
Se ambas as condições forem satisfeitas, a aplicação é um operador linear.
Resposta
Portanto, para determinar quais das aplicações de
em
são operadores lineares, é necessário verificar se cada uma satisfaz as condições de adição de vetores e multiplicação por escalar. Se ambas as propriedades forem verdadeiras para uma aplicação específica, então essa aplicação é um operador linear.