Quais das seguintes aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe pergunta: “Quais das seguintes aplicações de R^3 em R^3 são operadores lineares?” Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define um operador linear e como verificar se uma aplicação específica satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Em álgebra linear, um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) de maneira que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, se temos uma aplicação T(u + v) = T(u) + T(v) , para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e qualquer escalar , as seguintes condições devem ser verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:

Passo 3

Agora, como identificar se uma aplicação específica é linear? Bem, vamos supor que você tenha uma aplicação específica, como por exemplo:
T(x) = Ax
onde é uma matriz . Nesse caso, a aplicação é linear porque a multiplicação por uma matriz preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 4

Porém, nem toda aplicação de T(x) = x + b para é linear. Por exemplo, se tivermos uma aplicação definida por:
onde é um vetor fixo em , essa não é uma aplicação linear, a menos que . Isso porque a adição de não preserva a origem, quebrando a condição de linearidade.

Passo 5

Então, para cada aplicação específica que você tem, o que precisa fazer é:
  1. Verificar a adição de vetores: Confira se para quaisquer .
  2. Verificar a multiplicação por escalar: Veja se para qualquer escalar .
Se ambas as condições forem satisfeitas, a aplicação é um operador linear.

Resposta

Portanto, para determinar quais das aplicações de em são operadores lineares, é necessário verificar se cada uma satisfaz as condições de adição de vetores e multiplicação por escalar. Se ambas as propriedades forem verdadeiras para uma aplicação específica, então essa aplicação é um operador linear.

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