Determinar o operador linear T de R^2 cuja matriz em relação à base (1,2),(0,5) é (cc3 & 1 2 & -1). (Dica, ache T(1,0) e T(0,1). Note que T(x, y)=T(x(1,0)+y(0,1))=x T(1,0)+y T(0,1).

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar o operador linear 3 & 1 2 & -1 em cuja matriz em relação à base é
Para isso, vamos usar conceitos de bases e transformação linear. Precisaremos encontrar as imagens de e para construir a matriz do operador na base padrão.

Passo 2

Primeiro, identificamos a base . Vamos chamar essa base de , onde e .

Passo 3

Sabemos que a matriz de A = 3 & 1 2 & -1 na base T(v1) = 3v1 + 2v2, é
T(v2) = v1 - v2
Isso significa que:

Passo 4

Vamos calcular T(v1) = 3(1,2) + 2(0,5) = (3 cdot 1 + 2 cdot 0, 3 cdot 2 + 2 cdot 5) = (3, 6 + 10) = (3, 16), e T(v2) = 1(1,2) - 1(0,5) = (1 cdot 1 - 1 cdot 0, 1 cdot 2 - 1 cdot 5) = (1, 2 - 5) = (1, -3) usando as definições acima:

Passo 5

Agora, queremos expressar na base padrão . Para isso, devemos encontrar e usando a relação linear .

Passo 6

Para encontrar (1,0) = a(1,2) + b(0,5) Rightarrow a = 1 2a + 5b = 0 Rightarrow a = 1, b = -25 e T(1,0) = T(av1 + bv2) = aT(v1) + bT(v2) = 1 cdot (3,16) + (-25) cdot (1,-3) = (3 - 25, 16 + 65) = (135, 865) , precisamos expressar as coordenadas de e na base . Resolvemos o sistema:
Então,

Passo 7

De forma semelhante, para (0,1) = c(1,2) + d(0,5) Rightarrow c = 0 2c + 5d = 1 Rightarrow c = 0, d = 15 :
T(0,1) = T(cv1 + dv2) = cT(v1) + dT(v2) = 0 cdot (3,16) + 15 cdot (1,-3) = (0 + 15, 0 - 35) = (15, -35)
Então,

Passo 8

Com 135 & 15 865 & -35 e , podemos escrever a matriz de na base padrão como:

Resposta

O operador linear T = 135 & 15 865 & -35 em é dado pela matriz na base padrão:

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