Determinar o operador linear
de
cuja matriz em relação à base
é
. (Dica, ache
e
. Note que
.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar o operador linear
em
cuja matriz em relação à base
é
Para isso, vamos usar conceitos de bases e transformação linear. Precisaremos encontrar as imagens de
e
para construir a matriz do operador na base padrão.
Passo 2
Primeiro, identificamos a base
. Vamos chamar essa base de
, onde
e
.
Passo 3
Sabemos que a matriz de
na base
é
Isso significa que:
Passo 4
Vamos calcular
e
usando as definições acima:
Passo 5
Agora, queremos expressar
na base padrão
. Para isso, devemos encontrar
e
usando a relação linear
.
Passo 6
Para encontrar
e
, precisamos expressar as coordenadas de
e
na base
. Resolvemos o sistema:
Então,
Passo 7
De forma semelhante, para
:
Então,
Passo 8
Com
e
, podemos escrever a matriz de
na base padrão
como:
Resposta
O operador linear
em
é dado pela matriz na base padrão: