Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a)
dada por
; Resp.:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o núcleo da transformação linear
definida por
. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que ela envia para o zero. Para descobrir isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo,
, é o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. Então, temos que resolver a equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar todas as soluções possíveis. Podemos reescrever essa equação para isolar uma das variáveis, por exemplo,
.
Isso significa que qualquer vetor
no núcleo deve satisfazer
.
Passo 4
Com
, podemos expressar
em termos de
e
. Portanto, nossos vetores no núcleo terão a forma:
Passo 5
Para descrever o núcleo como um subespaço vetorial, vamos escrever esse vetor como uma combinação linear das variáveis livres
e
:
Passo 6
Assim, o núcleo de
é gerado pelos vetores
e
. Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Resposta
O núcleo de
é
.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não
(b)
Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e
, então
é ortogonal a
.
(b) Prove que, se
Determine um operador linear
cuja imagem é gerada por
.
Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)