Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) F: R^3 R dada por F(x, y, z)=x+y-z; Resp.: N(F)=[(1,0,1),(0,1,1)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o núcleo da transformação linear definida por . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que ela envia para o zero. Para descobrir isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, F(x, y, z) = x + y - z = 0 , é o conjunto de todos os vetores em tal que . Então, temos que resolver a equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar todas as soluções possíveis. Podemos reescrever essa equação para isolar uma das variáveis, por exemplo, .
Isso significa que qualquer vetor no núcleo deve satisfazer .

Passo 4

Com (x, y, z) = (x, y, x + y) , podemos expressar em termos de e . Portanto, nossos vetores no núcleo terão a forma:

Passo 5

Para descrever o núcleo como um subespaço vetorial, vamos escrever esse vetor como uma combinação linear das variáveis livres (x, y, x + y) = x cdot (1, 0, 1) + y cdot (0, 1, 1) e :

Passo 6

Assim, o núcleo de é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Resposta

O núcleo de é .

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