Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por ; Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o núcleo da transformação linear definida por . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que ela envia para o zero. Para descobrir isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, , é o conjunto de todos os vetores em tal que . Então, temos que resolver a equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar todas as soluções possíveis. Podemos reescrever essa equação para isolar uma das variáveis, por exemplo, .
Isso significa que qualquer vetor no núcleo deve satisfazer .

Passo 4

Com , podemos expressar em termos de e . Portanto, nossos vetores no núcleo terão a forma:

Passo 5

Para descrever o núcleo como um subespaço vetorial, vamos escrever esse vetor como uma combinação linear das variáveis livres e :

Passo 6

Assim, o núcleo de é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Resposta

O núcleo de é .

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Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não
Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e , então é ortogonal a .
Determine um operador linear cuja imagem é gerada por .
Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)