Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas aqui. O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do conjunto das soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matriz aumentada, operações elementares e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. As equações são:
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Vamos usar operações elementares para simplificar a matriz. Primeiro, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô na terceira linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -1 para facilitar os cálculos:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o termo na terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 7
A matriz está agora na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Passo 8
Portanto, a única solução é e . Isso significa que o conjunto solução é o vetor nulo.