Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas aqui. O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do conjunto das soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matriz aumentada, operações elementares e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. As equações são:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Vamos usar operações elementares para simplificar a matriz. Primeiro, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô na terceira linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -1 para facilitar os cálculos:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o termo na terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 7

A matriz está agora na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .

Passo 8

Portanto, a única solução é e . Isso significa que o conjunto solução é o vetor nulo.

Resposta

A base do subespaço solução é e a dimensão é 0.

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Determine um operador linear cuja imagem é gerada por .
Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por ; Resp.:
Determine um operador linear cujo núcleo é gerado por .
Sejam vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que o conjunto é linearmente independente;
(b) O conjunto é ou não linearmente independente?