Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas aqui. O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do conjunto das soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matriz aumentada, operações elementares e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. As equações são:
A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & | & 0 2 & -3 & | & 0 3 & -12 & | & 0
Passo 3
Vamos usar operações elementares para simplificar a matriz. Primeiro, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, vamos eliminar o termo na terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos R3 = R3 - 52R2 Rightarrow 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & | & 0 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 7
A matriz está agora na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
x - y = 0 y = 0 0 = 0
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Passo 8
Portanto, a única solução é e . Isso significa que o conjunto solução é o vetor nulo.