Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas aqui. O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do conjunto das soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matriz aumentada, operações elementares e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. As equações são:
x - y = 0 2x - 3y = 0 3x - 12y = 0
A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & | & 0 2 & -3 & | & 0 3 & -12 & | & 0

Passo 3

Vamos usar operações elementares para simplificar a matriz. Primeiro, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)).
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 1 & -1 & | & 0 0 & -1 & | & 0 3 & -12 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo abaixo do primeiro pivô na terceira linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R1 Rightarrow 1 & -1 & | & 0 0 & -1 & | & 0 0 & 52 & | & 0

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -1 para facilitar os cálculos:
R2 = -1 cdot R2 Rightarrow 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & | & 0 0 & 52 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos eliminar o termo na terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos R3 = R3 - 52R2 Rightarrow 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & | & 0 vezes a segunda linha da terceira linha:

Passo 7

A matriz está agora na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
x - y = 0 y = 0 0 = 0
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .

Passo 8

Portanto, a única solução é e . Isso significa que o conjunto solução é o vetor nulo.

Resposta

A base do subespaço solução é e a dimensão é 0.

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