Determine um operador linear cuja imagem é gerada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar um operador linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso significa que queremos construir uma transformação linear que, ao aplicar em qualquer vetor de , o resultado esteja nesse conjunto de vetores gerado por esses dois. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir matrizes que representem operadores lineares com uma imagem específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. A imagem de um operador é basicamente todas as combinações lineares das colunas dessa matriz. Então, se queremos que a imagem de seja gerada por e , podemos escolher essas duas coordenadas como colunas da matriz de .

Passo 3

Como estamos trabalhando em , nossa matriz terá 3 linhas e, como queremos que a imagem seja gerada por 2 vetores, vamos usar 2 colunas. Assim, podemos montar a matriz de da seguinte forma:
Essa matriz representa a transformação linear .

Passo 4

Porém, para que seja um operador de para , precisamos que a matriz tenha 3 colunas, já que o domínio tem dimensão 3. Mas nossa imagem é gerada por apenas 2 vetores, então vamos adicionar uma coluna de zeros para representar a dimensão que não está sendo usada na imagem:

Passo 5

Agora, essa matriz representa o operador linear desejado. Quando aplicamos a qualquer vetor de , o resultado será uma combinação linear das colunas de , ou seja, dos vetores e , garantindo que a imagem de seja exatamente o que foi pedido.

Resposta

Um operador linear cuja imagem é gerada por pode ser representado pela matriz:

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Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por ; Resp.:
Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não
Determinar uma base e a dimensão do subespaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos (b)
Determine um operador linear cujo núcleo é gerado por .