Determine um operador linear cuja imagem é gerada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar um operador linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso significa que queremos construir uma transformação linear que, ao aplicar em qualquer vetor de , o resultado esteja nesse conjunto de vetores gerado por esses dois. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir matrizes que representem operadores lineares com uma imagem específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz. A imagem de um operador é basicamente todas as combinações lineares das colunas dessa matriz. Então, se queremos que a imagem de seja gerada por e , podemos escolher essas duas coordenadas como colunas da matriz de .
Passo 3
Como estamos trabalhando em , nossa matriz terá 3 linhas e, como queremos que a imagem seja gerada por 2 vetores, vamos usar 2 colunas. Assim, podemos montar a matriz de da seguinte forma:
Essa matriz representa a transformação linear .
Passo 4
Porém, para que seja um operador de para , precisamos que a matriz tenha 3 colunas, já que o domínio tem dimensão 3. Mas nossa imagem é gerada por apenas 2 vetores, então vamos adicionar uma coluna de zeros para representar a dimensão que não está sendo usada na imagem:
Passo 5
Agora, essa matriz representa o operador linear desejado. Quando aplicamos a qualquer vetor de , o resultado será uma combinação linear das colunas de , ou seja, dos vetores e , garantindo que a imagem de seja exatamente o que foi pedido.
Resposta
Um operador linear cuja imagem é gerada por pode ser representado pela matriz: