Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e , então é ortogonal a .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais , que possui um produto interno. O produto interno é uma forma de multiplicação entre dois vetores que produz um número real, e é fundamental para definir conceitos como ortogonalidade e norma de vetores.
A questão nos dá um vetor não nulo e define como:
Aqui, representa o produto interno entre os vetores e , e é a norma de , que basicamente é o comprimento do vetor .
Nosso objetivo é provar que o vetor é ortogonal a . Ou seja, o produto interno entre e deve ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero:
é
Então, para provar que é ortogonal a , precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos calcular o produto interno . Utilizando as propriedades do produto interno, que é linear em cada componente, temos:

Passo 4

Sabemos que a norma de é definida como:
Portanto, . Substituindo isso na expressão anterior, temos:

Passo 5

Lembrando que foi definido como:
Substituímos na expressão:
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que é ortogonal a .

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Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
Sejam , e considere a matriz tal que , para todo .
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.
Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não
Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por ; Resp.: