Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Prove que, se
é um vetor não nulo e
, então
é ortogonal a
.
(b) Prove que, se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre os números reais
, que possui um produto interno. O produto interno é uma forma de multiplicação entre dois vetores que produz um número real, e é fundamental para definir conceitos como ortogonalidade e norma de vetores.
A questão nos dá um vetor não nulo
e define
como:
Aqui,
representa o produto interno entre os vetores
e
, e
é a norma de
, que basicamente é o comprimento do vetor
.
Nosso objetivo é provar que o vetor
é ortogonal a
. Ou seja, o produto interno entre
e
deve ser igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero:
Então, para provar que
é ortogonal a
, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos calcular o produto interno
. Utilizando as propriedades do produto interno, que é linear em cada componente, temos:
Passo 4
Sabemos que a norma de
é definida como:
Portanto,
. Substituindo isso na expressão anterior, temos:
Passo 5
Lembrando que
foi definido como:
Substituímos
na expressão:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que significa que
é ortogonal a
.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
©
Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.
(a) Mostre que
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não
(b)
Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por
; Resp.:
(a)