Considere V um espaço vetorial sobre R, com produto interno.
(b) Prove que, se v é um vetor não nulo e lambda=lang<= u, vrang<=|v|^2, então u-lambda v é ortogonal a v.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial lambda = lang<= u, v rang<=|v|^2 sobre os números reais , que possui um produto interno. O produto interno é uma forma de multiplicação entre dois vetores que produz um número real, e é fundamental para definir conceitos como ortogonalidade e norma de vetores.
A questão nos dá um vetor não nulo e define como:
Aqui, representa o produto interno entre os vetores e , e é a norma de , que basicamente é o comprimento do vetor .
Nosso objetivo é provar que o vetor é ortogonal a . Ou seja, o produto interno entre e deve ser igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero:
lang<= a, b rang<= = 0 implies a é ortogonal a b é
Então, para provar que lang<= u - lambda v, v rang<= = 0 é ortogonal a , precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos calcular o produto interno lang<= u - lambda v, v rang<= = lang<= u, v rang<= - lambda lang<= v, v rang<= . Utilizando as propriedades do produto interno, que é linear em cada componente, temos:

Passo 4

Sabemos que a norma de |v| = raizlang<= v, v rang<= é definida como:
lang<= u - lambda v, v rang<= = lang<= u, v rang<= - lambda |v|^2
Portanto, . Substituindo isso na expressão anterior, temos:

Passo 5

Lembrando que lambda = lang<= u, v rang<=|v|^2 foi definido como:
lang<= u - lambda v, v rang<= = lang<= u, v rang<= - ( lang<= u, v rang<=|v|^2 ) |v|^2
Substituímos lang<= u - lambda v, v rang<= = lang<= u, v rang<= - lang<= u, v rang<= = 0 na expressão:
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que é ortogonal a .

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