Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
(b)
Resp.: Não
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
e precisamos verificar se ela é um operador linear. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um operador linear.
Passo 2
Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, deve valer:
e
Passo 3
Vamos verificar a aditividade primeiro. Se
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Comparando
com
, percebemos que:
Note que há um termo extra
em
que não está presente em
. Isso mostra que a aditividade não é satisfeita.
Passo 6
Além disso, observamos o termo
na função
. Esse termo não é linear porque envolve
elevado ao quadrado. Operadores lineares só podem ter termos de primeiro grau.
Resposta
Não, a função
não é um operador linear.
Exercícios relacionados
Considere
um espaço vetorial sobre
, com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e
, então
é ortogonal a
.
(b) Prove que, se
Considere as seguintes funções do
e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
©
Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por
; Resp.:
(a)
Determine um operador linear
cuja imagem é gerada por
.