Considere as seguintes funções do F: R^3 R^3 e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) F(x, y, z)=(2 x^2+3 y, x, z) Resp.: Não

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por e precisamos verificar se ela é um operador linear. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um operador linear.

Passo 2

Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer vetores F(u + v) = F(u) + F(v) e F(cu) = cF(u) em e para qualquer escalar , deve valer:
e

Passo 3

Vamos verificar a aditividade primeiro. Se F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (2(x1 + x2)^2 + 3(y1 + y2), x1 + x2, z1 + z2) e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular F(u) + F(v) = (2x1^2 + 3y1, x1, z1) + (2x2^2 + 3y2, x2, z2) = (2x1^2 + 2x2^2 + 3y1 + 3y2, x1 + x2, z1 + z2) :

Passo 5

Comparando 2(x1 + x2)^2 = 2x1^2 + 4x1x2 + 2x2^2 com , percebemos que:
Note que há um termo extra em que não está presente em . Isso mostra que a aditividade não é satisfeita.

Passo 6

Além disso, observamos o termo na função . Esse termo não é linear porque envolve elevado ao quadrado. Operadores lineares só podem ter termos de primeiro grau.

Resposta

Não, a função não é um operador linear.

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