Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
(b) Resp.: Não

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por e precisamos verificar se ela é um operador linear. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um operador linear.

Passo 2

Um operador linear deve satisfazer duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , deve valer:
e

Passo 3

Vamos verificar a aditividade primeiro. Se e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Comparando com , percebemos que:
Note que há um termo extra em que não está presente em . Isso mostra que a aditividade não é satisfeita.

Passo 6

Além disso, observamos o termo na função . Esse termo não é linear porque envolve elevado ao quadrado. Operadores lineares só podem ter termos de primeiro grau.

Resposta

Não, a função não é um operador linear.

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Considere um espaço vetorial sobre , com produto interno.
(b) Prove que, se é um vetor não nulo e , então é ortogonal a .
Considere as seguintes funções do e identifique se são operadores lineares ou não:
© Resp.: Não
Para cada uma das transformações lineares a seguir, determine o núcleo:
(a) dada por ; Resp.:
Determine um operador linear cuja imagem é gerada por .