Use o polinômio de Taylor para calcular o exato valor do limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando o polinômio de Taylor. O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Para isso, vamos precisar conhecer as expansões de Taylor das funções
e
próximas de 0, além de como aplicar essas expansões para simplificar a expressão do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão de Taylor da função cosseno perto de 0:
Como estamos próximos de 0, podemos aproximar
usando os primeiros termos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expansão de Taylor do logaritmo natural de
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Em seguida, vamos considerar a função
. A expansão de Taylor de
perto de 0 é:
Portanto, ao elevar ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original do limite:
Simplificando cada fração:
e
Passo 6
Agora, somamos as duas expressões simplificadas:
Distribuindo as frações:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
O limite é igual a 1.