Use o polinômio de Taylor para calcular o exato valor do limite
lim x 0(1log (cos (x))+2sen^2(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o polinômio de Taylor. O exercício pede para calcular o limite quando lim x 0(1log (cos (x))+2sen^2(x)) se aproxima de 0 da expressão:
Para isso, vamos precisar conhecer as expansões de Taylor das funções e próximas de 0, além de como aplicar essas expansões para simplificar a expressão do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão de Taylor da função cosseno perto de 0:
cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots
Como estamos próximos de 0, podemos aproximar cos(x) approx 1 - x^22 usando os primeiros termos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expansão de Taylor do logaritmo natural de log(1 + y) approx y - y^22 + y^33 - dots para |y| < 1 . Sabemos que:
log(cos(x)) approx log(1 - x^22) approx -x^22 - x^412
No nosso caso, , então:

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a função sen(x) = x - x^36 + x^5120 - dots . A expansão de Taylor de sen^2(x) approx (x - x^36)^2 = x^2 - x^43 perto de 0 é:
Portanto, ao elevar ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original do limite:
1log(cos(x)) + 2sen^2(x) approx 1-x^22 - x^412 + 2x^2 - x^43
Simplificando cada fração:
1-x^22(1 + x^26) = -2x^2(1 - x^26)
e
2x^2(1 - x^23) = 2x^2(1 + x^23)

Passo 6

Agora, somamos as duas expressões simplificadas:
-2x^2(1 - x^26) + 2x^2(1 + x^23)
Distribuindo as frações:
-2x^2 + 26 + 2x^2 + 2x^23x^2
Simplificando os termos semelhantes:
(-2x^2 + 2x^2) + (26 + 23) = 0 + (13 + 23) = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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