Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar e com um erro inferior a
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber **quantos termos do polinômio de Taylor precisamos usar para aproximar o número
com um erro menor que
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a série de Taylor para
, e entender como controlar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Vamos lembrar que a série de Taylor para
em torno de 0 é dada por:
Isso significa que
pode ser aproximado somando os termos
desde
até algum número
que nos assegure que o erro fique abaixo de
.
Passo 3
Para controlar o erro da aproximação, usamos o termo de resto da série de Taylor. No caso da série para
, o termo de resto após
termos é dado por:
Queremos que esse erro seja menor que
, ou seja:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de
que satisfaz a desigualdade acima. Vamos calcular
para diferentes valores de
até que
seja menor que
.
Vamos calcular:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Observamos que para
, o erro
é menor que
. Portanto, precisamos de 9 termos da série de Taylor (de
a
) para atingir a precisão desejada.
Resposta
São necessários 9 termos do polinômio de Taylor para aproximar
com um erro inferior a
.