Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar e com um erro inferior a 10^(-5) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber **quantos termos do polinômio de Taylor precisamos usar para aproximar o número e com um erro menor que 10^(-5). Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a série de Taylor para e, e entender como controlar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Vamos lembrar que a série de Taylor para e em torno de 0 é dada por:
Isso significa que e pode ser aproximado somando os termos desde até algum número n que nos assegure que o erro fique abaixo de 10^(-5).

Passo 3

Para controlar o erro da aproximação, usamos o termo de resto da série de Taylor. No caso da série para e, o termo de resto após n termos é dado por:
Queremos que esse erro seja menor que 10^(-5), ou seja:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o menor valor de n que satisfaz a desigualdade acima. Vamos calcular para diferentes valores de n até que seja menor que 10^(-5).
Vamos calcular:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Observamos que para , o erro é menor que 10^(-5). Portanto, precisamos de 9 termos da série de Taylor (de a ) para atingir a precisão desejada.

Resposta

São necessários 9 termos do polinômio de Taylor para aproximar e com um erro inferior a 10^(-5).

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