Em cada uns dos exercícios encontre a função em que sua tranformada de Laplace é: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função no domínio de Laplace, que é basicamente uma maneira de transformar funções do tempo para o domínio “s”. O enunciado quer que a gente encontre a função original sabendo que a transformada de Laplace dela é:
Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar as transformadas inversas de Laplace para voltar para o domínio do tempo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de duas frações mais simples. Queremos achar constantes e tais que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da igualdade por para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos achar valores de e que satisfaçam essa equação para todo .
Passo 3
Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar e :
Quando :
Quando :
Então, temos:
Passo 4
Substituindo os valores de e na decomposição original, temos:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que: