Em cada uns dos exercícios encontre a função em que sua tranformada de Laplace é:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função no domínio de Laplace, que é basicamente uma maneira de transformar funções do tempo para o domínio “s”. O enunciado quer que a gente encontre a função original sabendo que a transformada de Laplace dela é:
Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar as transformadas inversas de Laplace para voltar para o domínio do tempo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de duas frações mais simples. Queremos achar constantes e tais que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da igualdade por para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos achar valores de e que satisfaçam essa equação para todo .

Passo 3

Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar e :
  1. Quando :
  1. Quando :
Então, temos:

Passo 4

Substituindo os valores de e na decomposição original, temos:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Juntando os dois resultados, a função é:
Ou, de forma mais simplificada:

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