Em cada uns dos exercícios encontre a função
em que sua tranformada de Laplace é:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função no domínio de Laplace, que é basicamente uma maneira de transformar funções do tempo para o domínio “s”. O enunciado quer que a gente encontre a função original
sabendo que a transformada de Laplace dela é:
Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar as transformadas inversas de Laplace para voltar para o domínio do tempo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr
em frações parciais. Isso significa escrever
como a soma de duas frações mais simples. Queremos achar constantes
e
tais que:
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da igualdade por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos achar valores de
e
que satisfaçam essa equação para todo
.
Passo 3
Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar
e
:
- Quando
:
- Quando
:
Então, temos:
Passo 4
Substituindo os valores de
e
na decomposição original, temos:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Juntando os dois resultados, a função
é:
Ou, de forma mais simplificada: