Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI por meio da transformada de Laplace.
2 y'' + 3 y' + y = 3 sen(t), y(0) = 1, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação e usar as condições e .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando a linearidade da Transformada de Laplace, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das transformadas das derivadas:
Substituindo essas na equação:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Isolando :
Agora, vamos simplificar os denominadores. Primeiro, fatoramos :
Então, a expressão fica:

Passo 6

Para encontrar , precisamos realizar a Transformada de Laplace inversa. Vamos decompor em frações parciais e então aplicar as transformadas inversas conhecidas:
Após calcular as frações parciais e aplicar as transformadas inversas, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

A solução do problema é:

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