Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI por meio da transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nos dois lados da equação e usar as condições e .
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando a linearidade da Transformada de Laplace, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das transformadas das derivadas:
Substituindo essas na equação:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :
Passo 5
Isolando :
Agora, vamos simplificar os denominadores. Primeiro, fatoramos :
Então, a expressão fica:
Passo 6
Para encontrar , precisamos realizar a Transformada de Laplace inversa. Vamos decompor em frações parciais e então aplicar as transformadas inversas conhecidas:
Após calcular as frações parciais e aplicar as transformadas inversas, obtemos a solução no domínio do tempo.