A função Gamma é definida pela função imprópria
Seja , verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! O problema pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a , onde . Para isso, vamos usar o que a gente sabe sobre a função Gamma e a definição da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a Transformada de Laplace de uma função . Ela é dada por:
No nosso caso, a gente quer transformar . Então, substituindo na definição:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral. Vamos usar , o que implica que e . Substituindo na integral:

Passo 4

Observamos que a integral é exatamente a definição da função Gamma para :
Portanto, podemos substituir essa integral por :

Resposta

A Transformada de Laplace de é igual a para .

Exercícios relacionados

Em cada uns dos exercícios encontre a função em que sua tranformada de Laplace é:
.
Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
.
Encontrar o fluxo do campo através externa da esféra no primeiro octante.
Calcular o fluxo do campo através da parte superior da superfície limitada pelo cone .