A função Gamma é definida pela função imprópria
Gamma(p)=integral0^infty t^p-1 e^-t d t, p>0
Seja p>-1, verifique que Lt^p(s)=Gamma(p+1)s^p+1, s>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! O problema pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a , onde . Para isso, vamos usar o que a gente sabe sobre a função Gamma e a definição da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a Transformada de Laplace de uma função Lf(t)(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt . Ela é dada por:
Lt^p(s) = integral0^infty e^-st t^p , dt
No nosso caso, a gente quer transformar . Então, substituindo na definição:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral. Vamos usar Lt^p(s) = integral0^infty e^-u (us)^p dus = 1s^p+1 integral0^infty e^-u u^p , du , o que implica que e . Substituindo na integral:

Passo 4

Observamos que a integral Gamma(p+1) = integral0^infty e^-u u^p , du é exatamente a definição da função Gamma para Lt^p(s) = Gamma(p+1)s^p+1 :
Portanto, podemos substituir essa integral por :

Resposta

A Transformada de Laplace de é igual a para .

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