A função Gamma é definida pela função imprópria
Seja
, verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! O problema pede para a gente mostrar que a Transformada de Laplace de
é igual a
, onde
. Para isso, vamos usar o que a gente sabe sobre a função Gamma e a definição da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a Transformada de Laplace de uma função
. Ela é dada por:
No nosso caso, a gente quer transformar
. Então, substituindo na definição:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral. Vamos usar
, o que implica que
e
. Substituindo na integral:
Passo 4
Observamos que a integral
é exatamente a definição da função Gamma para
:
Portanto, podemos substituir essa integral por
:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é igual a
para
.
Exercícios relacionados
Em cada uns dos exercícios encontre a função
em que sua tranformada de Laplace é:
.
Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
.
Encontrar o fluxo do campo
através externa da esféra
no primeiro octante.
Calcular o fluxo do campo
através da parte superior da superfície
limitada pelo cone
.