Encontrar o fluxo do campo
através externa da esféra
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo
através da parte externa da esfera
que está no primeiro octante. Isso significa que estamos olhando apenas para a parte da esfera onde
,
e
são positivos. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular o fluxo de um campo através de uma superfície fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual ao volume da divergência de
dentro dessa superfície. Em fórmula:
Aqui,
é a divergência do campo
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro do primeiro octante da esfera de raio 1. No primeiro octante,
,
, e
variam de 0 a 1, e
.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é:
No primeiro octante,
varia de
a
e
também de
a
.
Passo 5
Vamos expressar
em coordenadas esféricas:
Então, a integral de volume fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Resolvendo cada parte:
Primeira parte:
E:
Segunda parte:
E:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Multiplicando pela constante
:
Resposta
O fluxo do campo através da parte externa da esfera no primeiro octante é
.
Exercícios relacionados
A função Gamma é definida pela função imprópria
Seja
, verifique que
.
Em cada uns dos exercícios encontre a função
em que sua tranformada de Laplace é:
.
Calcular o fluxo do campo
através da parte superior da superfície
limitada pelo cone
.
Em cada uns dos problemas encontre a transformada de Laplace.
.