Encontrar o fluxo do campo através externa da esféra no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo através da parte externa da esfera que está no primeiro octante. Isso significa que estamos olhando apenas para a parte da esfera onde , e são positivos. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular o fluxo de um campo através de uma superfície fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual ao volume da divergência de dentro dessa superfície. Em fórmula:
Aqui, é a divergência do campo .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro do primeiro octante da esfera de raio 1. No primeiro octante, , , e variam de 0 a 1, e .
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é:
No primeiro octante, varia de a e também de a .

Passo 5

Vamos expressar em coordenadas esféricas:
Então, a integral de volume fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Resolvendo cada parte:
Primeira parte:
E:
Segunda parte:
E:

Passo 8

Agora, juntando tudo:
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Multiplicando pela constante :

Resposta

O fluxo do campo através da parte externa da esfera no primeiro octante é .

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.
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.