Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Vamos trabalhar com a matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa parte é importante porque vai nos dar a base da solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, a gente encontra a equação característica. Substituímos por na equação homogênea, o que nos dá:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau ( ), vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 10

Com os valores de e , temos a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. .
Determine as demais razões trigonométricas.