Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Vamos trabalhar com a matéria de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa parte é importante porque vai nos dar a base da solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, a gente encontra a equação característica. Substituímos
por
na equação homogênea, o que nos dá:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é uma função polinomial de primeiro grau (
), vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para os termos constantes:
Passo 10
Com os valores de
e
, temos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
.
Determine as demais razões trigonométricas.