Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Os coeficientes complexos indicam que a solução homogênea será da forma:
onde
e
são constantes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução do tipo:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Passo 6
Agora, temos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
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