Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . A nossa missão aqui é encontrar a função que satisfaz essa equação. Vamos usar um método chamado fator integrante, que é super útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto . Isso é uma propriedade do fator integrante. Então:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação com relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a integral do lado direito é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. .
Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.
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