Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A nossa missão aqui é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Vamos usar um método chamado fator integrante, que é super útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
. Isso é uma propriedade do fator integrante. Então:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação com relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: