Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como achar soluções gerais e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, criamos a equação característica substituindo por , por e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Isso dá:

Passo 4

Os valores de são complexos, da forma , onde e . A solução geral da equação homogênea é então:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:

Passo 6

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 8

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema de equações:

Passo 10

Com os valores encontrados, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :

Passo 13

Segundo, derivamos para encontrar :
Simplificando e aplicando :

Resposta

A solução do problema inicial é:

Exercícios relacionados

Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.
Considere a equaçõa encontre a solucão da parte homogênea da equação e procure uma solução da equação não homogênea da forma , em que será determinao.
O domínio da função em cada caso: ;