Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como achar soluções gerais e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, criamos a equação característica substituindo por , por e por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Isso dá:
Passo 4
Os valores de são complexos, da forma , onde e . A solução geral da equação homogênea é então:
Substituindo e :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Passo 6
Vamos derivar para encontrar e :
Passo 7
Substituímos , e na equação diferencial original:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 9
Vamos resolver esse sistema de equações:
→
→ →
Passo 10
Com os valores encontrados, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .