Considere a equaçõa
encontre a solucão da parte homogênea da equação e procure uma solução da equação não homogênea da forma
, em que
será determinao.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
O objetivo é encontrar a solução da parte homogênea dessa equação e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea usando a forma
. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas e como encontrar soluções particulares usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para resolver isso, a gente assume que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Ao substituir na equação homogênea, a gente obtém a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de
são:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem dadas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
A proposta é procurar uma solução da forma
, onde
é uma função que vamos determinar.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem em
. Vamos resolver para
.
Passo 9
Vamos fazer uma substituição: seja
. Então, a equação fica:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 10
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 11
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 12
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Podemos simplificar substituindo as constantes:
Passo 13
Agora, voltando à nossa solução particular:
Note que o termo
já está incluído na solução homogênea, então para evitar duplicidade, colocamos
.
Assim, a solução particular fica:
Resposta
A solução da parte homogênea é
e uma solução particular da equação não homogênea é
.